Pt. un l=AB, h=AC, construim, progresiv, "poligoane" intre A si B, pe care vom calcula timpul, dupa relatiile cunoscute, incepand cu:
t1 pentru traseul l=AB
t2 pentru traseul AC+CB
t3 pentru traseul AC1 (C1 la mijlocul lui AC) + C1C2 (C2 la mijlocul CB) + C2B
..................
t1 = ( 2l/gsinß)1/2, unde: sinß = h/l --> t1 = (2l/gh/l) --> t1=2l/(2gh)1/2
t2 = t'2 + t"2
t'2 = ( 2h/g) 1/2. Vc (viteza in C) = (2gh)1/2 --> t''2 = CB/Vc
t"2 = (l2 - h2)1/2/(2gh) 1/2 --> t2 =[2h/(2gh)1/2][1-(l2/4h2-1/4)1/2]
Pt l>h, rezulta t1>t2
Facand calculele pt t3, pe traseul AC1 -> C1C2 -> C2B, gasim: t1 > t2 > t3
Continuand rationamentul pt tn-1 (n - numarul laturilor poligonului dintre A si B) vom gasi tn-2> tn-1> tn. Pt. n -> infinit, "poligonul dintre A si B tinde la o cicloida pt. care t este cel mai mic in raport cu orice traseu pe laturile unui poligon cu n laturi".