3.7k intrebari
6.8k raspunsuri
15.5k comentarii
2.5k utilizatori
Triunghiurile AOB și DOC sînt asemenea => AO*DO = OC*OB => A(AOD) = A(BOC) avînd același unghi, A() - arie triunghiA(AOD) = AD*h1/2, h1- înălțimea dusă din O pe ADh1 = MO*sinAMOLa felA(BOC) = BC*h2/2, h2- înălțimea dusă din O pe BCh2 = NO*sinBNODeci AD*MO*sinAMO = BC*NO*sinBNO. Apelez la reducerea la absurd și presupun MO=NO =>AD*sin AMO = BC*sinBNO. Prelungesc laturile AD și BC pînă se întîlnesc în T.În triunghiul TMN conform teoriei sinusului sinAMO / TN = sinBNO / TM => AD / BC = TM / TN. Dar AD / BC = TA / TB (teorema lui Thales) => TA / TB = TM / TN și conform reciprocii teoremei asemenării => MN este paralelă cu AB și CD, apoi trapezul mai devine și isoscel ceea ce contrazice ipoteza unui trapez și a unei drepte oarecare.Am considerat AB < CD și punctele M, N interioare laturilor AD, BC. Probabil dacă sînt în prelungirile lor raționamentul este la fel, dar mi s-a acrit de desenat trapeze. Asta nu înseamnă că sînt o acritură, nu-i așa?
$zec: Văd că mi-ați apreciat răspunsul, dar o concluzie era eronată, ceea ce nu înlătură corectitudinea soluției. Mă mir și eu de onestitatea mea, totodată mă îngrijorează pentru că este un semn de slăbiciune.
$Bzn: MN trece prin O - intersecția diagonalelor, nu se poate M=N=T, iar dacă MN // AD sau BC, nu am avea M sau N. De ce să luăm niște cazuri care nu fac parte din ipoteză?