Am sa dau un raspuns din cauza lipsei de activitate.
Avem 8 puncte notate cu A1;A2....A8.
Sa presupunem prin absurda ca avem exact 3 dintre lungimi numere irationale .Cum in 3 segmente putem avea maxim 6 puncte distincte care le formeaza ,deducem ca exista 2 puncte(dar ma intereseaza doar 1 ) pentru care orice segment format cu unul din aceste puncte este rational.Fara a restringe generalitatea putem considera ca fiin A1 unul din aceste puncte.
Fie o inversiune de pol A1 si modul un numar k rational(sa zicem de exemplu 8) atunci vom avea un desen ca in figura urmatoare din link
https://www.scribd.com/doc/241992517/inversiune-pdf
Segmentele rationale AiAj raman tot rationale in transformatele lor A'iA'j asta din cauza modului de calcul al acestor segmente.La fel si cele irationale se conserva.Deci conform presupuneri vom avea 3 segmente irationale si restul rationale.Putem privi punctele precum pe axa reala incepand cu originea in A'2 si celelalte puncte avand valori numerice pe care sa le notam sa zicem cu p1;p2..p6.Cel putin unul din numerele acestea trebuie sa fie irational altfel am avea numai segmente rationale .Daca avem doar 1 atunci segmentele vecine insumate cu el ar determina 5 numere irationale ceea ce contrazice .Daca am avea 2 am obtine prin insumare cu numere rationale din cele 4 ramase si vecine celor 2 cel putin inca 2 segmente irationale si daca am avea 3 am avea aceeasi poveste si automat contradictie .In concluzie nu putem avea doar 3 irationale.
O demonstratie a faptului ca punctele transformate prin inversiune sunt pe o dreapta si modul lor de calcul vine din faptul ca triunghiurile A1AiAj si A1A'iA'j sunt asemenea deoarece unghiul A1 este comun si A1Ai*A1A'i=A1Aj*A1A'j=k.(vezi comentariul meu la cum se defineste inversiunea)Astfel se poate calcula A'iA'j si coliniaritatea revine din faptul ca unghiul A1A'2A'k (cel marcat de mine pe desen) este egal cu 1/2 din arcul A1A2 indiferent de k de la 3 la 8 deci punctele se afla pe o dreapta.