Mai întîi ca să înțelegeți de ce corpurile grele cad la fel de repede ca cele ușoare vă propun un experiment. Nu e nevoie să-l faceți concret, ajunge să-l faceți numai mintal.
Luăm trei corpuri identice (monede, pietre etc.). Dacă le lăsăm să cadă simultan de la aceeași înălțime vor ajunge la podea tot simultan. Pînă aici e evident. Acum luăm două dintre cele trei corpuri și le lipim unul de altul. Luăm corpul simplu și corpul dublu și le lăsăm să cadă simultan de la aceeași înălțime. Ce motiv ar avea corpul dublu să cadă mai repede sau mai încet decît înainte? Pămîntul atrage cele două jumătăți ale sale la fel de puternic ca înainte, iar lipitura nu poate avea nici un efect de accelerare sau frînare a căderii, pentru că acționează numai între jumătăți. Ca urmare, dublarea masei unui corp nu afectează viteza sa de cădere.
O altă explicație este că la un corp mai greu, forța de atracție exercitată de Pămînt este mai mare, dar și ineriția corpului e mai mare. Inerția e aceea care face ca un cărucior plin cu obiecte grele să fie mai greu de împins decît unul gol.
Ați cerut și o demonstrație matematică. Iat-o.
Mișcarea de cădere liberă a unui corp este descrisă de ecuația
a = F / m
unde m este masa corpului, iar F este forța de greutate, despre care știm că este constantă, cel puțin în interiorul camerei în care ne aflăm. În plus știm că greutatea este proporțională cu masa (dacă atîrnăm două corpuri egale de dinamometru vedem că forța de greutate se dublează).
Proporționalitatea înseamnă că putem scrie F = g * m, unde g este deocamdată o simplă constantă. Știți probabil deja că acest g este celebru, dar ne facem că nu știm.
Atunci accelerația corpului este: a = g. Ca urmare, căderea corpului este uniform accelerată și nu depinde de masa lui. Cu asta demonstrația s-a încheiat.
Dar putem merge mai departe să aflăm cum se comportă viteza ca funcție de timp. Accelerația a este derivata vitezei: a = dv / dt. Integrînd de la 0 la t găsim că viteza este uniform crescătoare în timp:
v = g * t
Dar viteza este și ea derivata poziției: v = dz / dt. Integrînd încă o dată găsim că poziția este accelerat crescătoare în timp:
z = g * t^2 / 2
Inversînd ultima relație găsim în cît timp cade corpul de la 0 la z:
t = sqrt(2 * z / g)
Constatăm din nou că timpul de cădere nu depinde de masă.
Fiindcă toate corpurile de la suprafața Pămîntului cad cu aceeași accelerație (neglijînd efectele aerului și diferențele mici dintre locurile de pe glob) e convenabil să-i dăm mărimii g un nume frumos --- accelerația gravitațională --- și să ține minte că este egală aproximativ cu 9,81 m/s^2.
La final, încă o idee: ați cerut o demonstrație matematică pentru un fenomen fizic. Eu m-am prefăcut că v-o dau, dar așa ceva este imposibil. Fenomenele fizice se demonstrează neapărat prin experimente, nu pur teoretic. De ce? Pentru că matematica nu poate descrie un fenomen fizic decît dacă asupra acelui fenomen avem o teorie corectă. Or despre o teorie nu putem ști dacă e corectă sau nu pînă nu comparăm consecințele teoriei cu fenomenul însuși, cel real, adică făcînd experimente. Matematica singură nu poate demonstra decît afirmații de natură matematică.