Integrala ca arie sub curbaHenri Lebesgue (1875-1941) a fost un matematician francez, cunoscut pentru teoria integrării. Teoria lui Lebesgue privind integrarea a fost publicată în disertaţia sa "Integrală, lungime, arie", la Universitatea din Nancy în 1902.

 

 

 

 

 

Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann este foarte util în aplicaţii şi aduce o mare flexibilitate, atrăgând atenţia asupra ponderilor din sumă.

O mulţime {tex}A\subset R{/tex} se numeşte neglijabilă dacă pentru orice {tex}\epsilon >0{/tex}, există un şir {tex}\(I_n\)_n{/tex} de intervale mărginite, de numere reale astfel încât {tex}\sum_{n=0}^{\infty}l(I_n)<\epsilon{/tex} şi {tex}A\subset \bigcup_{n=0}^{\infty}I_n{/tex} unde {tex}l(I_n){/tex} reprezintă lungimea obişnuită a intervalului {tex}I_n{/tex}.


Mulţimile neglijabile au proprietăţile:

1. Dacă {tex}A\subset R{/tex} este finită (în particular vidă), atunci A este neglijabilă.

2. Dacă B este neglijabilă şi {tex}A\subset B{/tex}, atunci A este neglijabilă.

3. Dacă {tex}(A_n)_{n\in N}{/tex} este un şir de mulţimi neglijabile, atunci {tex}\bigcup_{n=0}^{\infty}A_n{/tex} este neglijabilă. De exemplu, orice mulţime cel mult numărabilă este neglijabilă (în particular N, Z, Q sunt mulţimi neglijabile).


Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann:

Fie {tex}f:[a,b]\rightarrow R{/tex}. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. funcţia f este integrabilă Riemann

2. funcţia f este mărginită şi mulţimea {tex}D_f{/tex} a punctelor sale de discontinuitate este neglijabilă.

Observaţie foarte utilă în aplicaţii: Dacă funcţia {tex}f: [a,b]\rightarrow R{/tex} este mărginită pe compactul {tex}[a,b]{/tex} şi are un număr finit de puncte de discontinuitate, atunci f este integrabilă pe {tex}[a,b]{/tex}.

 

 

Bibliografie: Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu, Analiza matematică, Ed. Paralela 45, 2004.

Pt a posta comentarii: creați un cont pe site, folosiți contul de FB, Twitter sau Google ori postați ca vizitator (fără nicio formalitate de înregistrare). Pt vizitatori comentariile sunt moderate (nu se publică automat).

Loading comment... The comment will be refreshed after 00:00.

Fii primul care comentează.

Spune-ne care-i părerea ta...
caractere rămase.
Loghează-te ( Fă-ți un cont! )
ori scrie un comentariu ca „vizitator”

 


Sprijiniţi-ne cu o donaţie.


PayPal ()


Contact
| T&C | © 2020 Scientia.ro