Susţine Scientia

 Misiunea Scientia.ro este de a publica articole ştiinţă şi tehnologie de calitate. Cu peste 7.000 de articole, Scientia reprezintă azi o colecţie de articole ştiinţifice (multe însoţite de videoclipuri ori animaţii) fără concurent între site-urile cu profil ştiinţific în limba română.
 Pentru a putea asigura o funcţionare optimă a site-ului (servicii de găzduire decente, care costă
485 €/an), avem nevoie de sprijinul dvoastră!
 Dacă găsiţi scientia.ro util, vă rugăm să susţineţi site-ul printr-o donaţie.

Costuri 2019: 485 €. Donat: 101.2


PayPal ()
CoinGate Payment ButtonCriptomonedă

Perioada campaniei de strângere de fonduri: 24.12.18-31.01.2019

Teorema lui Wilson afirmă că fiind dat un număr natural {tex}p\ge 2{/tex}, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a){tex}p{/tex} este număr prim;

b){tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex};


Demonstraţie.

Avem {tex}U(Z_p)=Z_p^*{/tex} (grup multiplicativ cu p-1 elemente) şi {tex}\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`{/tex}

Dar {tex}ord(\hat{k}^`)=2{/tex} dacă {tex}(\hat{k}^`)^2=\hat{1}{/tex} sau {tex}(\hat{k}^`-\hat{1})(\hat{k}^`+\hat{1})=\hat{0}{/tex} sau {tex}p|(k^`-1)(k^`+1){/tex} şi p fiind prim divide unul dintre factori, deci {tex}p|(k^`-1){/tex} sau {tex}p|(k^`+1){/tex}, adică {tex}\hat{k}^`=\hat{1}{/tex} sau {tex}\hat{k}^`=\hat{-1}{/tex} (singurele clase de ordin 2). Relaţia {tex}\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`{/tex} devine {tex}\hat{1}\cdot \hat{2}...(\hat{p-1})=\hat{1}(\hat{-1})=\hat{-1}{/tex} deci{tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex}.

Reciproc. Dacă p este neprim, {tex}p=ab,a>1,b>1{/tex}, atunci {tex}a{/tex} si {tex}a|(p-1)!{/tex}. Dacă am avea {tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex} atunci {tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod a){/tex}. Contradicţie cu {tex}(p-1)!\equiv 0(mod a){/tex}.


Aplicaţie.
Fie p un număr prim şi k un număr natural cu condiţia {tex}1\le k\le p{/tex}. Să se arate că numărul {tex}(p-k)!(k-1)!+(-1)^{k-1}{/tex} este divizibil cu p.

Avem congruenţele modulo p: {tex}1\equiv -(p-1),2\equiv -(p-2),...,k-1\equiv -(p-k+1){/tex} care înmulţite dau {tex}(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)(p-2)...(p-k+1){/tex}.

Deci {tex}(p-k)!(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)!\equiv (-1)^k{/tex} (datorită teoremei lui Wilson).

 

Observaţie. Problema poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Wilson, pe care o obţinem în cazul particular p=k.


Bibliografie: Matematică pentru grupele de performanţa, editura Dacia Educaţional.