Susţine Scientia

 Misiunea Scientia.ro este de a publica articole ştiinţă şi tehnologie de calitate. Cu peste 7.000 de articole, Scientia reprezintă azi o colecţie de articole ştiinţifice (multe însoţite de videoclipuri ori animaţii) fără concurent între site-urile cu profil ştiinţific în limba română.
 Pentru a putea asigura o funcţionare optimă a site-ului (servicii de găzduire decente, care costă
485 €/an), avem nevoie de sprijinul dvoastră!
 Dacă găsiţi scientia.ro util, vă rugăm să susţineţi site-ul printr-o donaţie.

Costuri 2019: 485 €. Donat: 101.2


PayPal ()
CoinGate Payment ButtonCriptomonedă

Perioada campaniei de strângere de fonduri: 24.12.18-31.01.2019

În lucrarea "Note on a conjecture in prime number theory", din 1986, matematicianul român Dorin Andrica de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj-Napoca, a emis următoarea ipoteză:

spirala Ulam
Spirala Ulam - spirala numerelor prime
Credit: http://www.cs.unh.edu

 

Conjectura lui Andrica: Dacă {tex}p_n{/tex} este al n-lea număr prim pozitiv, atunci {tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1{/tex} pentru orice {tex}n\in N^*{/tex}.

Valabilitatea afirmaţiei a fost dovedită cu ajutorul calculatorului pentru toate numerele prime mai mici ca {tex}2^{53}{/tex} (I. Ghory, în 2000).

Conjectura lui Andrica conduce la verificarea conjecturii lui Legendre şi postulatului lui Bertrand.


Conjectura lui Legendre:
Între oricare două pătrate perfecte consecutive există cel puţin un număr prim.

Să presupunem că există pătratele perfecte {tex}a^2,(a+1)^2,a\in N^*{/tex} între care nu există niciun număr prim. Fie {tex}p_m{/tex} cel mai mare număr prim cu proprietatea {tex}p_m(a+1)^2{/tex}. Atunci {tex}\sqrt{p_m}a+1{/tex}, prin urmare {tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}>a+1-a=1{/tex}, ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.


Postulatul lui Bertrand:
Pentru orice număr natural {tex}n\ge 2{/tex}, în intervalul {tex}(n,2n){/tex} există cel puţin un număr prim.

Presupunem că există un număr natural {tex}n\ge 2{/tex} astfel încât în intervalul {tex}(n,2n){/tex} nu există niciun număr prim. Putem presupune {tex}n\ge 6{/tex}, deoarece pentru {tex}n\in \{2,3,4,5\}{/tex} postulatul lui Bertrand se verifică. Notând cu {tex}p_k{/tex} cel mai mare număr prim cu proprietatea {tex}p_k\le n{/tex}, datorită presupunerii făcute vom avea {tex}p_{k+1}>2n{/tex}. Atunci {tex}\sqrt{p_k}\le \sqrt{n},\sqrt{p_{k+1}}>\sqrt{2n}{/tex}, prin urmare:

{tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}\ge \sqrt{12}-\sqrt{6}>1{/tex}, ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.

Observaţie: În 1850, matematicianul rus P.L. Cebâşev a dat o demonstraţie acestei afirmaţii, transformând-o într-o teoremă.


Bibliografie: Colecţia G.M.