Tipărire
Categorie: Matematica
Accesări: 22706

În nenumărate probleme de matematică sunt întâlnite conceptele de parte întreagă şi parte fracţionară a unui număr real. În articolul de mai jos definim aceste două concepte şi enumerăm principalele proprietăţi menite să vă ajute în rezolvarea problemelor de matematică cu parte întreagă şi parte fracţionară.

Partea intreaga si fractionara

 

Fie {tex} $x\in\mathbb{R}${/tex} un număr real dat.

Definiţia 1: Se numeşte parte întreagă a numărului real {tex}x{/tex} cel mai mare număr întreg {tex}k{/tex} ce nu-l depăşeşte pe {tex}x{/tex}. Alternativ putem defini partea întreagă a lui {tex}x{/tex} având în vedere următoarele aspecte: pentru numărul real{tex}x{/tex} există şi este unic {tex}k\in\mathbb{Z}{/tex} cu proprietatea {tex}k\le x {/tex}.

Notaţie: Partea întreagă a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}[x]{/tex}.

Definiţia 2: Se numeşte parte fracţionară a numărului real {tex}x{/tex} diferenţa dintre {tex}x{/tex} şi partea lui întreagă.

Notaţie: Partea fracţionară a lui {tex}x{/tex} se notează cu {tex}\{x\}{/tex}. Având în vedere această notaţie, partea fracţionară se defineşte astfel: {tex}\{x\}=x-[x]{/tex}.

Proprietăţi:

1) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},[k]=k{/tex};

2) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc egalitatea {tex}[x+k]=[x]+k{/tex};

3) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc relaţia {tex}\{x+k\}=\{x\}{/tex};

4) Pentru {tex}\forall k\in\mathbb{Z}{/tex} avem {tex}\{k\}=0{/tex};

5) Pentru {tex}\forall x\in\mathbb{R}{/tex} avem {tex}0\le\{x\}<1{/tex};

6) Pentru {tex}\forall x,y\in\mathbb{R}{/tex} are loc {tex}[x+y]\ge[x]+[y]{/tex};

7) Pentru orice două numere reale pozitive {tex}x,y{/tex} are loc inegalitatea {tex}[xy]\ge[x][y]{/tex};

8) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}},\forall x\in\mathbb{R}{/tex} este adevărată identitatea {tex}[\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}]{/tex};

9) Pentru {tex}\forall n\in\mathbb{N^{*}}, \forall x\in\mathbb{R}{/tex} are loc identitatea lui Hermite:

{tex}[x] + [x+\frac{1}{n}] + [x+\frac{2}{n}] +...+ [x+\frac{n-1}{n}]=[nx]{/tex}

sau în scriere prescurtată:

{tex}\dsiplaystyle \sum_{k=0}^{n-1}  [x+\frac{k}{n}]=[nx]{/tex}

Modulul de comentarii de mai jos este încă în perioada de testare.
Se pot publica comentarii după crearea unui cont pe site, folosind conturile dv. de FB, Twitter și Google, ori pur și simplu ca vizitator (fără nicio formalitate de înregistrare). Pt vizitatori comentariile sunt moderate, înainte de publicare.

Loading comment... The comment will be refreshed after 00:00.

Fii primul care comentează.

Spune-ne care-i părerea ta...
caractere rămase.
Loghează-te ( Fă-ți un cont! )
ori scrie un comentariu ca „vizitator”