Poți inventa oricâte forme geometrice dorești. Dar dacă vrei să construiești un corp convex din poligoane regulate identice, așezate în același fel în jurul fiecărui vârf, libertatea dispare aproape complet. Ai doar cinci posibilități: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul. Nu este o limită a imaginației, ci o constrângere matematică.
Aceste corpuri se numesc solide platonice. „Perfecțiunea” lor desemnează regularitatea și simetria: toate fețele sunt poligoane regulate congruente, iar în fiecare vârf se întâlnește același număr de fețe. Condiția de convexitate exclude adânciturile și formele stelate.
Un cub este exemplul familiar: șase pătrate identice, câte trei în jurul fiecărui vârf. Celelalte corpuri respectă aceeași disciplină, folosind triunghiuri echilaterale sau pentagoane regulate.
| Corp | Fețe | Fețe la fiecare vârf |
|---|---|---|
| Tetraedru | 4 triunghiuri echilaterale | 3 |
| Cub | 6 pătrate | 3 |
| Octaedru | 8 triunghiuri echilaterale | 4 |
| Dodecaedru | 12 pentagoane regulate | 3 |
| Icosaedru | 20 de triunghiuri echilaterale | 5 |
Grecii antici cunoșteau aceste cinci forme. Platon le-a atribuit un rol în alcătuirea lumii: tetraedrul era asociat focului, octaedrul aerului, icosaedrul apei și cubul pământului. Dodecaedrul era legat de întregul cosmos.
Fizica a abandonat această interpretare, însă întrebarea rămâne: de ce lista se oprește aici?
Răspunsul poate fi obținut printr-o relație simplă descoperită de Leonhard Euler. Pentru orice poliedru convex, numărul vârfurilor, minus numărul muchiilor (E de la eng. edges), plus numărul fețelor este întotdeauna doi: V − E + F = 2.
La cub, calculul este imediat: 8 − 12 + 6 = 2. Forma și dimensiunile nu contează. Poți deforma cubul, lungindu-l sau turtindu-l, iar relația rămâne valabilă.
Să notăm cu n numărul laturilor unei fețe și cu m numărul muchiilor care se întâlnesc într-un vârf. Ambele numere trebuie să fie cel puțin trei.
Dacă numărăm toate laturile tuturor fețelor, fiecare muchie apare de două ori, deoarece separă două fețe. Prin urmare, nF = 2E. Similar, numărând muchiile la toate vârfurile, fiecare apare de două ori, prin cele două capete: mV = 2E.
Înlocuind aceste relații în formula lui Euler, obținem: 1/m + 1/n = 1/2 + 1/E. Cum numărul muchiilor este pozitiv, rezultă condiția decisivă: 1/m + 1/n > 1/2.
Această inegalitate restrânge drastic posibilitățile. Dacă ambele numere ar fi cel puțin patru, suma nu ar putea depăși 1/2. Așadar, unul trebuie să fie trei. Celălalt poate fi numai trei, patru sau cinci: la șase, suma ajunge exact la 1/2 și nu mai îndeplinește condiția.
Rămân doar cinci perechi posibile pentru (n, m): (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3). Ele corespund tetraedrului, octaedrului, icosaedrului, cubului și dodecaedrului. Inegalitatea exclude orice altă combinație, iar cele cinci corpuri cunoscute arată că fiecare posibilitate se poate realiza.
Există și o explicație intuitivă. În jurul unui vârf convex, suma unghiurilor fețelor trebuie să fie mai mică de 360°. Trei, patru sau cinci triunghiuri echilaterale lasă loc pentru formarea unui asemenea vârf. Șase umplu deja planul. Trei pătrate funcționează; patru se așază plat. Trei pentagoane funcționează, dar trei hexagoane ating deja 360°.
Formula lui Euler dezvăluie însă ceva mai profund decât limitele acestor construcții. Ea aparține topologiei, care studiază proprietățile păstrate prin deformări continue, fără tăieri sau lipiri. Suprafața unui poliedru convex este echivalentă topologic cu o sferă: ambele au caracteristica Euler egală cu doi. Suprafața unui colac are, în schimb, caracteristica Euler zero. Pentru o suprafață închisă, conexă și orientabilă, valoarea este 2 − 2g, unde g reprezintă numărul de „mânere”, adică genul suprafeței.
Astfel, o simplă numărătoare de vârfuri, muchii și fețe surprinde o proprietate profundă a formei. Iar cele cinci solide platonice arată cât de restrictivă poate deveni cerința unei regularități perfecte.
Sursa: Yahoo
