Un triunghi cu aria de numai 12 cm² poate avea un perimetru mai mare de un kilometru. În geometria plană, îi putem lungi conturul oricât, păstrând atât baza, cât și înălțimea. Construcția începe cu două puncte și o paralelă.
Fixăm două puncte, A și B, la 6 cm unul de celălalt. Deasupra segmentului AB trasăm o paralelă, la distanța de 4 cm. Alegem pe ea un punct C și îl unim cu A și B. Putem modifica triunghiul deplasând numai vârful C de-a lungul paralelei.
În dreptul mijlocului bazei, triunghiul este simetric. Dacă mutăm vârful spre dreapta, figura devine tot mai înclinată. Putem duce vârful dincolo de perpendiculara ridicată în B și apoi tot mai departe. Forma se schimbă, dar aria rămâne 12 cm².
Înălțimea poate fi în afara triunghiului
Aria unui triunghi se calculează înmulțind lungimea unei baze cu înălțimea corespunzătoare și împărțind produsul la doi. În construcția noastră, baza AB are mereu 6 cm. Înălțimea este segmentul perpendicular coborât din C pe dreapta AB; notăm cu H piciorul acestei perpendiculare. Cum C se deplasează pe o paralelă aflată la 4 cm, această înălțime măsoară mereu 4 cm.
Aria = (6 cm × 4 cm) / 2 = 12 cm².
Dacă vârful se află deasupra interiorului segmentului AB, piciorul perpendicularei cade între A și B. Când vârful ajunge deasupra lui A, înălțimea coincide cu latura AC. Dacă ducem vârful spre dreapta, dincolo de perpendiculara ridicată în B, piciorul înălțimii cade pe prelungirea bazei, în exteriorul triunghiului. Formula rămâne valabilă: distanța se măsoară până la dreapta care conține baza, chiar dacă trebuie să prelungim segmentul AB pentru a desena înălțimea.
Figura 1. Trei poziții ale vârfului, aceeași bază de 6 cm și aceeași înălțime de 4 cm. În ultimul desen, H este în afara segmentului AB. Toate cele trei triunghiuri au aria de 12 cm².
Lungimea unei laturi oblice nu poate înlocui înălțimea în calcul. Latura se poate lungi mult în timp ce distanța perpendiculară până la dreapta AB rămâne neschimbată. Conturul care se întinde poate sugera o suprafață mai mare, dar baza și înălțimea arată de ce aria se păstrează.
Aria egală nu înseamnă formă identică
În poziția simetrică, înălțimea împarte baza în două segmente de câte 3 cm. Fiecare latură oblică are 5 cm, deoarece 3² + 4² = 5², potrivit teoremei lui Pitagora. [1] Perimetrul triunghiului este atunci 6 + 5 + 5 = 16 cm.
Mutăm acum vârful exact deasupra punctului A. Obținem un triunghi dreptunghic cu catetele de 6 cm și 4 cm. Latura opusă unghiului drept are lungimea √52 cm, adică aproximativ 7,21 cm. Noul perimetru este de aproximativ 17,21 cm. Aria este tot 12 cm².
Așadar, cele două triunghiuri nu se suprapun perfect, deși ocupă suprafețe egale. Perimetrul măsoară lungimea conturului; aria măsoară suprafața din interior.
Cum ajunge perimetrul să depășească un kilometru
Continuăm deplasarea vârfului spre dreapta, în configurația din ultimul desen al figurii 1. Ne imaginăm că piciorul înălțimii, H, ajunge la 500 m de A. Baza AB are tot 6 cm, astfel că BH măsoară 499,94 m. Înălțimea CH rămâne de 4 cm.
În triunghiul dreptunghic AHC, latura AC este mai lungă decât AH. La fel, BC este mai lungă decât BH. Adunând și baza, obținem:
Perimetrul > 500 m + 499,94 m + 0,06 m = 1.000 m.
Aria este în continuare (6 cm × 4 cm) / 2 = 12 cm². Triunghiul a devenit extrem de îngust, cu două laturi foarte lungi. Exemplul este o construcție ideală în plan; desenele de mai sus arată poziții apropiate ale vârfului, nu proporțiile acestui caz extrem.
Putem depăși orice altă lungime aleasă dacă deplasăm vârful suficient de departe. Pentru această familie de triunghiuri, aria rămâne fixă, iar perimetrul nu are o limită superioară.
Ce demonstrează calculul și ce arată desenul
Pozițiile apropiate ale vârfului se pot urmări pe hârtie sau într-un program de geometrie dinamică. O animație în care contorul ariei rămâne la 12 cm² ajută la observarea regulii. Totuși, pozițiile privite nu sunt suficiente, singure, pentru a demonstra proprietatea în toate cazurile.
Justificarea pentru toate pozițiile este aceeași: AB rămâne fix, iar orice punct de pe paralelă se află la distanța de 4 cm de dreapta AB. Cele două mărimi care intră în formula ariei nu se schimbă. Nici valoarea ariei nu se poate schimba.
Proprietatea apare în Elementele lui Euclid, cartea I, propoziția 37: triunghiurile construite pe aceeași bază și între aceleași paralele au arii egale. Demonstrația lui Euclid folosește paralelograme. În formularea veche, egalitatea acestor triunghiuri se referă aici la arie; nu afirmă că triunghiurile ar avea aceleași laturi și unghiuri. [2]
Ce se întâmplă dacă mutăm vârful în sus sau în jos
Cu baza de 6 cm păstrată, o înălțime de 3 cm dă o arie de 9 cm², iar una de 5 cm dă o arie de 15 cm². Contează cât de departe este vârful de dreapta AB, măsurat perpendicular.
Există însă încă o familie de triunghiuri cu aria de 12 cm²: cele ale căror vârfuri se află pe paralela situată la 4 cm sub dreapta AB. Distanța este tot 4 cm, chiar dacă vârful se află în cealaltă parte a bazei.
Figura 2. Pentru baza AB de 6 cm, toate pozițiile vârfului care dau aria de 12 cm² formează două drepte paralele cu AB, câte una în fiecare parte, la distanța de 4 cm. Sunt desenate două exemple: C deasupra și D dedesubt.
Dacă deplasăm vârful în linie dreaptă de pe paralela de sus pe cea de jos, trecând prin dreapta AB, aria scade până la zero și apoi crește din nou. În momentul în care A, B și C sunt pe aceeași dreaptă, figura este degenerată și nu mai avem un triunghi obișnuit. Prin urmare, pozițiile de început și de sfârșit pot avea aceeași arie, chiar dacă aria nu a rămas constantă pe traseul dintre ele.
Aceeași suprafață poate avea, deci, contururi foarte diferite. Triunghiul simetric din primul desen are un perimetru de 16 cm. Vârful trimis departe produce unul de peste un kilometru. Pentru a calcula aria, avem nevoie în ambele cazuri de aceleași două lungimi: baza de 6 cm și înălțimea de 4 cm.
Text și ilustrații: profesor de matematică Cristian Săvulescu / Matepolis.
Bibliografie:
[1] Euclid, Elementele, cartea I, propoziția 47, pentru relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Ediția online David E. Joyce, Clark University
[2] Euclid, Elementele, cartea I, propoziția 37. Ediția online și comentariile lui David E. Joyce, Clark University
