Spune-ți opinia!

Fizica in 60 de secunde. Modelul StandardModelul Standard este cea mai bună teorie pe care o au în prezent fizicienii pentru a descrie unităţile structurale fundamentale ale Universului. Este una dintre cele mai mari realizări ale ştiinţei secolului al XX-lea. Detalii, în cele ce urmează.

Spune-ți opinia!

Fizica in 60 de secunde. NeutrinoNeutrinii sunt probabil particulele cu cel mai bine ales nume, fiind minuscule, neutre din punct de vedere electric (cum sugerează şi cuvântul din limba italiană, neutrino însemnând "cel mic şi neutru") şi având o masă atât de mică încât nu a putut fi măsurată încă.

Spune-ți opinia!

Aurora SimionescuProbabil ca unii dintre cititorii noştri îşi mai amintesc de apariţia surprinzătoare a unei tinere de doar 24 de ani, Aurora Simionescu, la gala din 2008 "Zece pentru România". I-a fost decernat atunci premiul "Omul anului" de către ziarul Cotidianul.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăRevenim cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de perspicacitate, în care autorul vă invită să stabiliţi modul în care călătorii urcă în vagoanele unui tren. Soluţia o vom oferi în scurtă vreme.

Spune-ți opinia!

Fizica in 60 de secunde - magnet quenchMagnet quench” este un eveniment dramatic, însă destul de obişnuit care are loc în interiorul unui accelerator de particule. În acest  articol din seria Concepte explicate în 60 de secunde veţi afla în ce constă acest tip de incident din viaţa unui accelerator de particule.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăRevenim cu o nouă pastilă de matematică transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm o scurtă problemă de logică, în care autorul vă invită să stabiliţi ce număr urmează într-un şir constituit după o anumită logică. Soluţia o vom oferi în scurtă vreme.

Spune-ți opinia!

Fizica in 60 de secunde. Bosonul WBozonul W este una din cele cinci particule care transmit forţele fundamentale ale naturii. El este responsabil pentru două dintre cele mai surprinzătoare descoperiri ale secolului al XX-lea. Detalii, în acest nou articol din seria "Concepte explicate în 60 de secunde".

Spune-ți opinia!

fizica in 60 de secundeNeutrinii sunt particule ale căror mase sunt extrem de dificil de măsurat. Deşi ştim precis cât cântăreşte un electron, dispunem de puţine informaţii despre masa partenerului său neutru – neutrinul electronic. La fel în cazul neutrinului miuonic şi al neutrinului τ (tau).

Spune-ți opinia!

Fizica în 60 de secundeAstăzi abordăm în 60 de secunde subiectul acceleratoarelor de particule. Adesea denumite „distrugătorii de atomi”, acestea utilizează câmpuri electrice puternice pentru a propulsa fascicule de particule subatomice - de obicei protoni sau electroni - la  viteze uriaşe.

Spune-ți opinia!

Fizica în 60 de secundeContinuăm seria de explicaţii în 60 de secunde despre componentele fundamentale ale materiei. Astăzi vom vorbi despre "neutralino", o particulă ipotetică care ar putea să explice din ce este alcătuită materia neagră. Aşadar, ce este un neutralino?

Spune-ți opinia!

QuarcuriQuarcul „charm” este una dintre cele şase particule elementare care, împreună cu leptonii, reprezintă elementele constitutive ale materiei obişnuite. Este de sute de ori mai masiv decât quarcurile „up” şi „down”, din care sunt constituiţi protonii şi neutronii.

Spune-ți opinia!

Boom sonicLumina Cherenkov apare când o particulă încărcată electric călătoreşte prin materie mai repede decât o poate face lumina. Acest efect este echivalentul optic al unui „boom sonic” care se produce, de pildă, când un avion turboreactor călătoreşte mai repede decât sunetul.

Spune-ți opinia!

Particule virtualeParticulele virtuale sunt particule cu o durata scurtă de viaţă, ce nu pot fi detectate în mod direct, însă care afectează unele cantităţi fizice - cum ar fi masa unei particule sau forţa electrică dintre două particule încărcate electric - într-o manieră cuantificabilă prin măsurători.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăNe întoarcem cu matematica transpusă în versuri. De data aceasta vă prezentăm două scurte probleme cu beţe de chibrit, în care autorul vă invită să rezolvaţi două calcule aparent simple, mutând un singur băţ. Ca de obicei, vă oferim şi soluţia în josul paginii.

Spune-ți opinia!

Wallpaper MatrixCui nu-i place un wallpaper elegant pe ecranul monitorului?. Astăzi vă recomandăm un site de unde puteţi prelua în mod gratuit imagini superbe. Site-ul dispune de o tehnologie care permite livrarea unui wallpaper "calibrat" pentru computerul dumneavoastră.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăO nouă problemă-poezie. De data aceasta vă prezentăm o problemă interesantă având ca subiect firele de păr de pe capul... gălăţenilor. Dacă sunteţi din Galaţi, trebuie musai să vedeţi despre ce e vorba. Dacă nu, curiozitatea nu vă va lăsa pasivi.

Spune-ți opinia!

SupermatematicaSupermatematica s-a născut din efortul milenar şi disperat al omului de-a modela lumea aşa cum este ea: complexă şi neliniară, nu liniară şi simplistă. Supermatematica este împlinirea visul matematicienilor de-a avea o infinitate de matematici şi de-a opera cât mai simplu cu ele.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăO nouă problemă-poezie, de data aceasta despre un melc rătăcit într-o fântână, care doreşte - habar nu avem de ce :) - să ajungă la lumină. Ca de obicei, puteţi să vă stoarceţi creierii în tihnă pentru a rezolva problema, dar dacă nu merge, aveţi răspunsul în partea de jos.

Spune-ți opinia!

Matematica distractivăIată o metodă interesantă de a face matematica atractivă şi distractivă, prin intermediul poeziei. Începând de astăzi vă vom oferi regulat o serie de poezii scrise de matematicianul şi scriitorul Petre Rău. Prima poezie este despre paradoxul lui Zenon.

Spune-ți opinia!

O echipă de cercetători de la IBM Research Zurich a reuşit fotografierea structurii chimice a unei molecule. Înţelegerea structurii moleculare este foarte importantă, mai ales pentru industria nanotehnologiei şi farmaceutică. Studiul a fost publicat în prestigioasa revistă Science.

în premieră fotografierea structurii chimice a unei molecule
Spune-ți opinia!

Chimie cuanticaExperimente realizate de fizicieni de la National Institute of Standards and Technology (NIST), împreună cu colegii lor de la Universitatea din Colorado, au pus în evidenţă reacţii între molecule aflate la temperaturi foarte apropiate de zero absolut.

Spune-ți opinia!

Multe din problemele de comutativitate în grupuri, altfel delicate, se rezolvă mai uşor dacă ţinem seama de structura algebrică de subgrup a centrului unui grup.

 

Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup
Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup
Credit imagine: Wikimedia Commons

Definiţie: Fie {tex}(G,\cdot ){/tex} un grup şi {tex}X\subset G{/tex} o submulţime a sa. Mulţimea {tex}Z(X)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in X\}{/tex} se numeşte centralizatorul mulţimii X.

Definiţie: Mulţimea {tex}Z(G)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in G\}{/tex} se numeşte centrul grupului G.

Propoziţie: Pentru orice mulţime {tex}X\subset G,(Z(X),\cdot ){/tex} este subgrup al grupului {tex}(g,\cdot ){/tex}.

Dacă {tex}g_1,g_2\in Z(X){/tex} avem {tex}(g_1g_2)x=g_1(g_2x)=g_1(xg_2)=(g_1x)g_2=x(g_1g_2){/tex} deci {tex}g_1g_2\in Z(X){/tex}.

Din {tex}g_1x=xg_1{/tex} rezultă {tex}xg_1^{-1}=g_1^{-1}x{/tex} deci {tex}g_1^{-1}\in Z(X){/tex}.

Observaţie: Subgrupul {tex}Z(X){/tex} este format din elementele lui G care comută cu toate elementele mulţimii X.

Definiţie: Mulţimea {tex}N(X)=\{g\in G|gX=Xg\}{/tex} se numeşte normalizatorul mulţimii X.

Propoziţie: Pentru orice submulţime {tex}X\subset G{/tex}, normalizatorul {tex}(N(X),\cdot ){/tex} este subgrup al grupului {tex}(G,\cdot ){/tex}. (Demonstraţia se face analog cu cea de la centrul grupului)

Consecinţe:

1. {tex}Z(X){/tex} este subgrup al lui {tex}N(X){/tex}

2. Dacă H este subgrup al lui G, atunci H este subgrup al lui N(H).

3. Fie {tex}(G,\cdot ){/tex} un grup şi {tex}n,p\in Z{/tex}. Notăm cu {tex}(n,p)=1{/tex}. Dacă {tex}\forall x\in G{/tex} şi {tex}x^n\in Z(G){/tex} şi {tex}x^p\in Z(G){/tex}, atunci {tex}(G,\cdot ){/tex} este grup abelian.


Bibliografie: G.M. 4-5/1990.


Spune-ți opinia!

Teorema fundamentală a aritmeticii, cunoscută şi sub numele de teorema factorizării unice afirmă că orice număr natural {tex}n\ge 2{/tex} se descompune în factori primi în mod unic, exceptând ordinea factorilor.

 

Vom demonstra existenţa descompunerii pentru {tex}n\in N,n\ge 2{/tex}. Pentru n=2, afirmaţia este adevărata deoarece 2 este prim. Presupunem că pentru orice număr {tex}2\le l\le k,l{/tex} se descompune în factori primi şi demonstrăm pentru k+1. Dacă k+1 este prim, afirmaţia are loc. Dacă k+1 este compus, atunci {tex}k+1=a\cdot b{/tex}, unde {tex}2\le a\le k,2\le b\le k{/tex} şi, conform ipotezei de inducţie, {tex}a=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_r, b=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_s{/tex} cu {tex}p_i,q_j{/tex} prime, deci {tex}k+1=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_r\cdot q_1\cdot ...\cdot q_s{/tex}.

Trecem la demonstrarea unicităţii descompunerii lui n. Fie {tex}n=p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_t{/tex} şi {tex}n=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v{/tex} două factorizări ale lui n, cu {tex}p_i,q_j{/tex} prime. Vom arăta că {tex}t=v{/tex} şi eventual după o reindexare a factorilor, {tex}p_i=q_i{/tex}. Din {tex}p_1|q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v{/tex} avem că {tex}p_1{/tex} divide un anumit {tex}a_i{/tex}. Fără a restrânge generalitatea, considerăm că {tex}p_1|q_1{/tex} deci {tex}p_1=q_1{/tex}. Aceasta conduce la {tex}p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_t=q_1\cdot q_2\cdot ...\cdot q_v{/tex} sau {tex}p_2\cdot p_3\cdot ...\cdot p_t=q_2\cdot q_3\cdot ...\cdot q_v{/tex}. Raţionând analog, dacă {tex}t\le v{/tex} ajungem la egalitatea {tex}p_t=q_t...q_v{/tex}. Cum {tex}p_t,q_t,...,q_v{/tex} sunt prime, rezultă {tex}t=v{/tex} şi {tex}p_t=q_t{/tex}.


Observaţie.
Când se cunosc descompunerile în factori primi a două numere naturale a şi b, {tex}a\ge 2,b\ge 2,d=(a,b){/tex} se poate determina ca fiind {tex}max(A\cap B){/tex}, unde {tex}A=\{x\in N|x|a\}{/tex} şi {tex}B=\{y\in N|y|b\}{/tex}, adică se aleg factorii comuni ai lui a şi b la puterea cea mai mică după care se înmulţesc.

 

Bibliografie: Solomon Marcus, Petruş Alexandrescu, Analiză matematică şi algebră, editura Nomina.

Spune-ți opinia!

Teorema lui Wilson afirmă că fiind dat un număr natural {tex}p\ge 2{/tex}, următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a){tex}p{/tex} este număr prim;

b){tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex};


Demonstraţie.

Avem {tex}U(Z_p)=Z_p^*{/tex} (grup multiplicativ cu p-1 elemente) şi {tex}\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`{/tex}

Dar {tex}ord(\hat{k}^`)=2{/tex} dacă {tex}(\hat{k}^`)^2=\hat{1}{/tex} sau {tex}(\hat{k}^`-\hat{1})(\hat{k}^`+\hat{1})=\hat{0}{/tex} sau {tex}p|(k^`-1)(k^`+1){/tex} şi p fiind prim divide unul dintre factori, deci {tex}p|(k^`-1){/tex} sau {tex}p|(k^`+1){/tex}, adică {tex}\hat{k}^`=\hat{1}{/tex} sau {tex}\hat{k}^`=\hat{-1}{/tex} (singurele clase de ordin 2). Relaţia {tex}\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`{/tex} devine {tex}\hat{1}\cdot \hat{2}...(\hat{p-1})=\hat{1}(\hat{-1})=\hat{-1}{/tex} deci{tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex}.

Reciproc. Dacă p este neprim, {tex}p=ab,a>1,b>1{/tex}, atunci {tex}a{/tex} si {tex}a|(p-1)!{/tex}. Dacă am avea {tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod p){/tex} atunci {tex}(p-1)!+1\equiv 0(mod a){/tex}. Contradicţie cu {tex}(p-1)!\equiv 0(mod a){/tex}.


Aplicaţie.
Fie p un număr prim şi k un număr natural cu condiţia {tex}1\le k\le p{/tex}. Să se arate că numărul {tex}(p-k)!(k-1)!+(-1)^{k-1}{/tex} este divizibil cu p.

Avem congruenţele modulo p: {tex}1\equiv -(p-1),2\equiv -(p-2),...,k-1\equiv -(p-k+1){/tex} care înmulţite dau {tex}(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)(p-2)...(p-k+1){/tex}.

Deci {tex}(p-k)!(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)!\equiv (-1)^k{/tex} (datorită teoremei lui Wilson).

 

Observaţie. Problema poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Wilson, pe care o obţinem în cazul particular p=k.


Bibliografie: Matematică pentru grupele de performanţa, editura Dacia Educaţional.


Spune-ți opinia!

În lucrarea "Note on a conjecture in prime number theory", din 1986, matematicianul român Dorin Andrica de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj-Napoca, a emis următoarea ipoteză:

spirala Ulam
Spirala Ulam - spirala numerelor prime
Credit: http://www.cs.unh.edu

 

Conjectura lui Andrica: Dacă {tex}p_n{/tex} este al n-lea număr prim pozitiv, atunci {tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1{/tex} pentru orice {tex}n\in N^*{/tex}.

Valabilitatea afirmaţiei a fost dovedită cu ajutorul calculatorului pentru toate numerele prime mai mici ca {tex}2^{53}{/tex} (I. Ghory, în 2000).

Conjectura lui Andrica conduce la verificarea conjecturii lui Legendre şi postulatului lui Bertrand.


Conjectura lui Legendre:
Între oricare două pătrate perfecte consecutive există cel puţin un număr prim.

Să presupunem că există pătratele perfecte {tex}a^2,(a+1)^2,a\in N^*{/tex} între care nu există niciun număr prim. Fie {tex}p_m{/tex} cel mai mare număr prim cu proprietatea {tex}p_m(a+1)^2{/tex}. Atunci {tex}\sqrt{p_m}a+1{/tex}, prin urmare {tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}>a+1-a=1{/tex}, ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.


Postulatul lui Bertrand:
Pentru orice număr natural {tex}n\ge 2{/tex}, în intervalul {tex}(n,2n){/tex} există cel puţin un număr prim.

Presupunem că există un număr natural {tex}n\ge 2{/tex} astfel încât în intervalul {tex}(n,2n){/tex} nu există niciun număr prim. Putem presupune {tex}n\ge 6{/tex}, deoarece pentru {tex}n\in \{2,3,4,5\}{/tex} postulatul lui Bertrand se verifică. Notând cu {tex}p_k{/tex} cel mai mare număr prim cu proprietatea {tex}p_k\le n{/tex}, datorită presupunerii făcute vom avea {tex}p_{k+1}>2n{/tex}. Atunci {tex}\sqrt{p_k}\le \sqrt{n},\sqrt{p_{k+1}}>\sqrt{2n}{/tex}, prin urmare:

{tex}\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}\ge \sqrt{12}-\sqrt{6}>1{/tex}, ceea ce contrazice conjectura lui Andrica.

Observaţie: În 1850, matematicianul rus P.L. Cebâşev a dat o demonstraţie acestei afirmaţii, transformând-o într-o teoremă.


Bibliografie: Colecţia G.M.


 



Donează prin PayPal ()


Contact
| T&C | © 2021 Scientia.ro