Autor Subiect: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica (Citit de 40007 ori)

Sigma2 · « : Februarie 28, 2010, 01:47:04 p.m. »

reprezentare geometrica

Adi · « **Răspuns #1 :** Februarie 28, 2010, 07:18:12 p.m. »

Excelent!

Sigma2 · « **Răspuns #2 :** Martie 01, 2010, 01:38:41 a.m. »

I. Scurt istoric
---------------
Numerele complexe apar ca o necesitate a rezolvarii ecuatiilor de grad 2 cu de-
terminantul negativ.Sunt introduse incepand cu secXVll-Xvlll de matematicieni
celebrii ca Euler, Moivre.Gauss este cel care trece la studierea lor sistematica si
riguroasa.
Studierea moderna a multimii C presupune existenta unei bijectii intreelementele multimii C(numite afixe) si multimea punctelor din plan (imaginile geometrice ).

II. Generalitati
--------------
Fie z $\in$ C, z=a+bi
Notam
lzl =modulul nr complex z. lzl= $\sqrt{a^2+b^2}$
z(barat)=z conjugat daca z=a+bi z(barat)=a-bi
a=Rez, b=Imz

III,Coordonate polare
----------------------
Fie z afixul punctului A.Pozitia punctului A este data de vectorul OA(fig1) Fie
A` si A`` proiectiile lui A pe axa Ox respectiv Oy a reperului cartezian Oxy.
Oa`=a si OA``=b (fig1) atasament.DIn triunghiul OA`A``aplicand Teorema lui
Pitagora se determina lungimea segmentului OA

OA = $sqrt{a^2+b^2}$ =lzl formula (1)
segmentul OA se mai numeste si raza polara notata cu r.Putem spune ca

OA =r= lzl (2)
Unghiul pe care OA il face cu axa Ox se numeste argumentul redus a lui z.
Deci argz=x x $\in$ [0, 2 $\pi$ ]
In concluzie OA=r si x=argz sunt coordonatele polare a lui z.

lV)Trecerea unui numar complex z de la forma algebrica la forma trigonometrica
_________________________________________________________________

Pentru a trece un numar complex de la forma algebrica la cea trigonometrica
este necesar sa-i stabilim mai intai coordonatele polare(r si x=argz)
r= $\sqrt{a^2+b^2}$
Pentru aflarea unghiului x, literatura de specialitate propune mai multe metode Am ales-o pe cea mai simpla si rapida.Pentrux $\in$ [0, $pi$ /2]
(fig 2 atasament) avem relatiile:
cosx=a/r (2a) si sinx=b/r (2b)
Forma tri gonometrica a lui z va fi
z=r*(cosx+isinx) (3)
Exemplu: z1= $\sqrt{3}$ /2+i/2 =>r= $\sqrt{3/4+1/4}$ =1

Din(2a) si (2b) =>argz=x= $\pi$ /6
z1=cos $\pi$ /6+isin $\pi$ /6
Pentru x $\in$ ( $\pi$ /2.,2 $\pi$ ] vom aplica tot formulele 2.a 2.b si vom avea in vedere semnul lui a si b, care vor permite
incadrarea lui x intr-unul din cele 4 cadrane.
Exemplu z2=- $\sqrt{3}$ /2+i/2. a<0 b>0A2 se afla in cadranul 2
r=1 argz2=5 $\pi$ /6 +> z2=cos5 $\pi$ /6+isin $\pi$ /6
z3=- $\sqrt{3}$ /2-i/2 a<,0 b<0 A3 se afla in cadranul3 r=1
argz3= $\pi$ *7/6
z3=cos $\pi$ *7/6+isin7 $\pi$ /6

z4= $\sqrt{3}$ /2-i/2 a>0, b<0 A4situat in cadran 4 (fig4)
argz4=11 $\pi$ /6 =>
z4=cos11 $\pi$ /6+isin11 $\pi$ /6

VArgumentul redus
------------------
Functiile sin si cos sunt periodice de perioada 2 $\pi$ .pozitia punctului A din plan este definita de multimea arcelor de forma x+2k $\pi$
Deci multimea tuturor argumentelornumarului z afixul lui A o vom nota ArgZ
Argz={argz+2k $\pi$ /k= nr intreg}

Sigma2 · « **Răspuns #3 :** Martie 03, 2010, 12:02:57 a.m. »

Operatii cu numere complexe exprimate trigonometric - Partea I,
_____________________________________________________

I.Generalitati
-------------

Efectuarea calculelor cu numere complexe exprimate trigonometric, ofera multiple
avantaje de exemplu la inmultirea a 3 sau mai multor numere complexe, la ridicarea la putere a numerelor complexe, , la extragerea radacinii dintr-un numar
complex.Ultima operatie are multiple aplicatii in problemele de constructii geo-
metrice oferind metode de inscriere a poligoanelor regulate in cerc numai cu rigla
si compasul.
Poate nu intamplator , Gauss care s-a aplecat cu atata atentie asupra numerelor complexe , a reusit sa stabileasca si recordul inscrierii intr-un cerc
numai cu rigla si compasul a poligonului regulat cu cel mai mare numar de laturi ,17.
II. Operatii cu numere complexe
___________________________

A.Adunarea numerelor complexe(fig1)

Fie z1 si z2 2 numere complexe de forma z1=r1*(cosx1+isinx1) si z2=r2*(cosx2+isinx2) si fie A1 si A2 imaginile lor geometrice.
pentru a aduna cele 2 numere se aduna pe de o parte partile lor reale si pe de alta parte partile lor imaginare.

z1+z2=(r1cosx1+r2cosx2)+i*(sinx1+sinx2) formula1.
Modulul sumei va fi
lz1+z2l= $\sqrt{r1^2+r2^2+2r1*r2*cos(x1-x2)}$ (1.1)

Interpretare geometrica (fig 1)

punctul A are afixul (z1+z2) si segmentul OA are lungimea egala cu lz1+z2l

Inmultirea a 2 numere complexe exprimate trigonometric
______________________________________________

Fie z1 si z2 doua numere complexe de forma

z1=r1cosx1+isinx1 , z2=r2cos x2+isinx2 , x1 si x2 $\in$ [0, $\2pi$ ]

z1*z2= r1*r2[cos(x1+x2)+isin(x1+x2)] formula 2

Daca (x1+x2) $\in$ [0,2 $\pi$ ] atunci argz1*z2=(x1+x2)

Daca (x1+x2) $\in$ [2 $\pi$ ,4 $\pi$ ], atunci
argz1*z2=x1+x2-2 $\pi$

Argumentul extins a lui z1*z2 va fi

Argz1*z2={argz1+argz2+2k $\pi$ } k = nr intreg

Prin inductie formula 2 se poate generaliza
z1*z2*...*zn=r1*r2*...*rn*[cos(x1+x2+...+xn)+isin (x1+x2+...+xn)] (2.1)

Produsul a 2 sau mai multor numere complexwe se calculeaza astfel:
modulul este egal cu produsul modulelor factorilor , iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

C.Ridicarea la putere a unui numar complex
-----------------------------------------

daca in formula 2.1 presupunem r1=r2=...=rn=r si x1=x2=...xn=x
se obtine

$z^{n}$ = $r^{n}$ *(cosnx+isinnx) (3)

Aceasta formula este cunoscuta sub numele de formula lui Moivre
Avantajul ridicarii unui numar complex cu aceasta formula este evident ,comparativ cu operatia similara efectuata algebric (cu Binomul lui Newton)

urmeaza

b12mihai · « **Răspuns #4 :** Martie 03, 2010, 03:05:55 p.m. »

Bun - Sigma2 - te rog frumos sa imi dai un PM si sa lasi si aici un mesaj in momentul in care ai terminat referatul, ca sa il postez pe site! Multumim pentru efortul depus de a contribui!

laurentiu · « **Răspuns #5 :** Martie 03, 2010, 10:26:24 p.m. »

Citat din: Sigma2 din Martie 03, 2010, 12:02:57 a.m.

Operatii cu numere complexe exprimate trigonometric - Partea I,
_____________________________________________________

I.Generalitati
-------------

Efectuarea calculelor cu numere complexe exprimate trigonometric, ofera multiple
avantaje de exemplu la inmultirea a 3 sau mai multor numere complexe, la ridicarea la putere a numerelor complexe, , la extragerea radacinii dintr-un numar
complex.Ultima operatie are multiple aplicatii in problemele de constructii geo-
metrice oferind metode de inscriere a poligoanelor regulate in cerc numai cu rigla
si compasul.
Poate nu intamplator , Gauss care s-a aplecat cu atata atentie asupra numerelor complexe , a reusit sa stabileasca si recordul inscrierii intr-un cerc
numai cu rigla si compasul a poligonului regulat cu cel mai mare numar de laturi ,17.
II. Operatii cu numere complexe
___________________________

A.Adunarea numerelor complexe(fig1)

Fie $z_1,z_2$ 2 numere complexe de forma $z_1=r_1(\cos x_1+i\sin x_1)$ si $z_2=r_2(\cos x_2+i\sin x_2)$ si fie $A_1,A_2$ imaginile lor geometrice.
Pentru a aduna cele 2 numere se aduna pe de o parte partile lor reale si pe de alta parte partile lor imaginare.

$z_1+z_2=(r_1\cos x_1+r_2\cos x_2)+i(\sin x_1+\sin x_2)$ formula1.
Modulul sumei va fi
$\|z_1+z_2\|=\sqrt{r1^2+r2^2+2r_1r_2\cos(x_1-x_2)}$ (1.1)

Interpretare geometrica (fig 1)

punctul A are afixul $(z_1+z_2)$ si segmentul OA are lungimea egala cu $\|z_1+z_2\|$

Inmultirea a 2 numere complexe exprimate trigonometric
______________________________________________

Fie $z_1, z_2$ doua numere complexe de forma

$z_1=r_1(\cos x_1+i\sin x_1),z_2=r_2(\cos x_2+i\sin x_2),x_1,x2\in[0,2\pi)$
Atunci:
$z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2[\cos(x_1+x_2)+i\sin(x_1+x_2)]$ formula 2

Daca $(x_1+x_2)\in[0,2\pi)$ atunci $arg(z_1\cdot z_2=(x_1+x_2)$

Daca $(x_1+x_2)\in[2\pi,4\pi)$ ,atunci
$arg(z_1\cdot z_2)=(x_1+x_2-2\pi)$

Argumentul extins a lui $z_1\cdot z_2$ va fi

$Arg(z_1\cdot z_2)=\{arg(z_1)+arg(z_2)+2k\pi\}$ k = nr intreg

Prin inductie formula 2 se poate generaliza
$z_1z_2\cdot...\cdot z_n=r_1r_2\cdot...\cdot r_n[\cos(x_1+x_2+...+x_n)+isin(x_1+x_2+...+x_n)]$ (2.1)

Produsul a 2 sau mai multor numere complexwe se calculeaza astfel:
modulul este egal cu produsul modulelor factorilor , iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.

C.Ridicarea la putere a unui numar complex
-----------------------------------------

daca in formula 2.1 presupunem $r_1=r_2=...=r_n=r$ si $x_1=x_2=...=x_n=x$
se obtine

$z^{n}=r^n(\cos nx+i\sin nx)$ (3)

Aceasta formula este cunoscuta sub numele de formula lui Moivre
Avantajul ridicarii unui numar complex cu aceasta formula este evident ,comparativ cu operatia similara efectuata algebric (cu Binomul lui Newton),si ajuta la calcularea unor identitati foarte interesante.

urmeaza

Am facut sa arate mai frumos in Latex ,sper ca nu este nicio problema .

Sigma2 · « **Răspuns #6 :** Martie 04, 2010, 09:51:48 p.m. »

Adi

Multumesc pentru incurajare.

Gothyk12

Sper sa -l termin azi , sau maine.Dupa cum vezi acum ai 2 variante pentru site, la alegere.

Laurentiu

Da e frumos , mersi. Decizia finala va apartine lui Gothik, el se ocupa de site.
Mica ta completare m-a determinat sa includ printre aplicatiile finale si un exercitiu pe care nu eram sigur ca-l voi posta.

b12mihai · « **Răspuns #7 :** Martie 04, 2010, 11:12:02 p.m. »

@Sigma2 - ca sa vezi "codul" din postul lui Laurentiu dai reply la postul lui (sau cand dai Post - baga un "Insert Quote" de la laurentiu). Eu oricum voi pune referatul tau pe site, dar o sa il mai aranjez si eventual o sa ii mai fac adaugiri necesare, ca ma mai pricep la subiect si mi-a placut foarte mult.

Mult spor la finalizarea referatului si tine-ti mereu un "backup" al lui pe calculator! Faci o treaba buna si tine-o tot asa! Si chiar pari pasionat de ceea ce faci

se vede.

Sigma2 · « **Răspuns #8 :** Martie 04, 2010, 11:15:54 p.m. »

D.Impartirea a 2 numere complexe
---------------------------------
z1/z2=r1/r2[cos(x1-x2)+isin(x1-x2)] formula 4

Arg(z1/z2)={argz1-argz2+2k $\pi$ } k=nr intreg

catul a 2 numere complexe are modulul egalcu catul modulelor celor dpua numere
iar argumentul egal cu diferenta argumentelor.

E.Radacina de ordin n a unui numar complex.
------------------------------------------

Fie z =r*(cosx +isinx) si Z =R*(cox $\Theta$ +isin $\Theta$ )
a.i. $\[Z]^{n}$ =z.Atunci Z se numeste radacina de ordinul n a lui z si
se calculeaza dupa formula

Zk= $\sqrt[r]^{n}$ *[cos(x+2k $\pi$ )/n+isin(x+2k $\pi$ )/n] (5)

k=0,1,2,3,...,(n-1) x $\in$ [0,2k $\pi$ ]
Modulul radacinii este egal radacina de ordin n din modulul luiz, iar argumentul este egal cu argumentul extins impartit la n.Geometric aceste radacini apar
ca varfurile unui poligon regulat inscris in cercul de raza l lZl

urmeaza

Sigma2 · « **Răspuns #9 :** Martie 05, 2010, 01:23:55 a.m. »

F.Radacinile de ordin n ale unitatii
--------------------------------

fie z=1 cos 0+isin0 se pune problema calcularii radacinii de ordinul n din z.
Daca in formula 5 se considera x=o si r=1vom obtine radacina de ordinul n a u-
nitatii.

Zk=cos2k $\pi$ /n+isin2k $\pi$ /n (6) k=0,1,2...(n-1)

In cazul in care n=3

Zo=cos0+isin0 =1 k=o
Z1=cos2 $\pi$ /3+isim2 $\pi$ /3 =-1/2+i $\sqrt{3}$ /2
Z2= cos4 $\pi$ /3+isin4 $\pi$ /3 =-1/2-i $\sqrt{3}$ /2

Zo,Z1,Z2, sunt afixele punctelor Ao,A1,A2 care reprezinta varfurile unui tri-
unghi echilateral inscris in cercul de raza 1, (fig3)
Radacinile de ordinul 4 sunt Z0, Z1, Z2, Z3 sunt afixele punctelor Ao,...,A3, ce
reprezinta varfurile patratului inscris in cercul de raza 1.

Evident radacinile de ordinul n , Zo,Z1, Z2,..., Zk reprezinta afixele varfurilor unui poligon regulat inscris in cercul de raza 1.

III. Numere complexe conjugate.
Fie z=a+bi un numar complex Conjugatul sau va fi z(barat)=a-bi a=Rez b=IMz
Fie z=r*(cosx+isinx) nr z exprimat trigonometric atunci
z(barat)=r*(cos (2 $\pi$ -x)+isin(2 $\pi$ -x))

x $\in$ [0,2 $\pi$ )

Daca A si B reprezinta imaginile geometrice ale acestor puncte atunci axa Ox a reperului cartezian va fi axa de simetrie pt aceste 2 puncte (fig2)

IV. Aplicatii.
------------
Voi pr0pune mai jos cateva exercitii. aplicatii imediate a cunostintelor teoretice prezentate in aceste referate.

Ex1.Scrieti sub forma trigonometrica urmatoarele numerecomplexe

a)z1=1+i, z2=1-i, z3=-2+i, z4 =sin60*-icos60*
Ex2. Daca punctele A si B au afixele z1=- $\sqrt{3}$ +2i si z2=-1-2i
in ce cadran al cercului trigonometric se vor afla afixele lor?
Ex3 .Daca A sI B sunt imaginile geometrice a luiz1=1/2+i $\sqrt{3}$ /2
si z2= $\sqrt{3}$ /2+i/2 determinati afixul lui C(z) unde z=z1+z2
b)calculati lungimea segmentului OC
Ex 4.Fie
z1=-2i, z2=2i+1, z3=1/2-i $\sqrt{3}$ /2 .Calculati z1*z2,z1*z3,z2*z3,
z1*z2*z3.

Daca z=2*(1-i) atunci z $\^{10}$ =?. Dar z1 ^25 unde z1= $\sqrt{5}$ *(2+3i)

Ex 5. 2 (cos 120*+isin120*):(cos75*+isin45)

calculati z1:z2, z1:z3 z2:z3 unde z1 z2 z3 sunt numerele de la pct 1
Determinati afixele varfurilor hexagonului regulat inscris in cercul de raza =1.

Sigma2 · « **Răspuns #10 :** Martie 05, 2010, 01:28:47 a.m. »

Maine postez si figurile si gata .Nu prea stiu sa fac back-up,

Adi · « **Răspuns #11 :** Martie 05, 2010, 04:49:06 a.m. »

Mersi mult, o sa fac eu backup atunci cand e gata.

Sigma2 · « **Răspuns #12 :** Martie 05, 2010, 03:16:55 p.m. »

Exercitiu 7
Fie z=1+i.Sa se demonstreze ca:
$\binom{n}{o}$ - $\binom{n}{2}$ + $\binom{n}{4}$ - $\binom{n}{6}$ +...= $\sqrt{2}^n$ *cos(n $\pi$ )/4 si

$\binom{n}{1}$ - $\binom{n}{3}$ + $\binom{n}{5}$ - $\binom{n}{7}$ +...= $\sqrt{2}^n$ *sin(n $\pi$ )/4

indicatie Se va ridica numarul z la puterea n folosind prima data binomul lui Newton si a 2-a oara formula lui Moivre

b12mihai · « **Răspuns #13 :** Martie 05, 2010, 06:17:48 p.m. »

M-am gandit la o chestie, zic eu buna: sa facem pe site o serie de lectii cu numerele complexe. Anume:

1. Constructia multimii numerelor complexe (constructia corpului numerelor complexe si definitia numarului imaginar i)
2. Numere complexe sub forma algebrica
3. Numere complexe sub forma trigonometrica
4. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie

Din cate am vazut, in mare parte, 2 si 3 e ceea ce Sigma2 a postat aici pe forum si probabil ca le voi fragmenta in mici lectii. Ce ziceti?

Adi · « **Răspuns #14 :** Martie 05, 2010, 06:31:43 p.m. »

E idee buna, daca faci tu lectia. Eu de multa vreme zic ca fiecare lectie de mate pusa pe site ne aduce un bonus de trafic constant, caci ce punem pe site urca repede in google si oamenii chiar cauta dupa chestii de matematica. Asa ca daca poti pune acestea sub lectii pe site ar fi minunat. Si cu altele la fel

.

Autor Subiect: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica (Citit de 40007 ori)

Sigma2

Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Adi

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

b12mihai

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

laurentiu

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

b12mihai

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Adi

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Sigma2

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

b12mihai

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica

Adi

Re: Numere complexe scrise sub forma trigonometrica