Operatii cu numere complexe exprimate trigonometric - Partea I,
_____________________________________________________
I.Generalitati
-------------
Efectuarea calculelor cu numere complexe exprimate trigonometric, ofera multiple
avantaje de exemplu la inmultirea a 3 sau mai multor numere complexe, la ridicarea la putere a numerelor complexe, , la extragerea radacinii dintr-un numar
complex.Ultima operatie are multiple aplicatii in problemele de constructii geo-
metrice oferind metode de inscriere a poligoanelor regulate in cerc numai cu rigla
si compasul.
Poate nu intamplator , Gauss care s-a aplecat cu atata atentie asupra numerelor complexe , a reusit sa stabileasca si recordul inscrierii intr-un cerc
numai cu rigla si compasul a poligonului regulat cu cel mai mare numar de laturi ,17.
II. Operatii cu numere complexe
___________________________
A.Adunarea numerelor complexe(fig1)
Fie z1 si z2 2 numere complexe de forma z1=r1*(cosx1+isinx1) si z2=r2*(cosx2+isinx2) si fie A1 si A2 imaginile lor geometrice.
pentru a aduna cele 2 numere se aduna pe de o parte partile lor reale si pe de alta parte partile lor imaginare.
z1+z2=(r1cosx1+r2cosx2)+i*(sinx1+sinx2) formula1.
Modulul sumei va fi
lz1+z2l=
})
(1.1)
Interpretare geometrica (fig 1)
punctul A are afixul (z1+z2) si segmentul OA are lungimea egala cu lz1+z2l
Inmultirea a 2 numere complexe exprimate trigonometric
______________________________________________
Fie z1 si z2 doua numere complexe de forma
z1=r1cosx1+isinx1 , z2=r2cos x2+isinx2 , x1 si x2

[0,

]
z1*z2= r1*r2[cos(x1+x2)+isin(x1+x2)] formula 2
Daca (x1+x2)

[0,2

] atunci argz1*z2=(x1+x2)
Daca (x1+x2)

[2

,4

], atunci
argz1*z2=x1+x2-2

Argumentul extins a lui z1*z2 va fi
Argz1*z2={argz1+argz2+2k

} k = nr intreg
Prin inductie formula 2 se poate generaliza
z1*z2*...*zn=r1*r2*...*rn*[cos(x1+x2+...+xn)+isin (x1+x2+...+xn)] (2.1)
Produsul a 2 sau mai multor numere complexwe se calculeaza astfel:
modulul este egal cu produsul modulelor factorilor , iar argumentul produsului este egal cu suma argumentelor factorilor.
C.Ridicarea la putere a unui numar complex
-----------------------------------------
daca in formula 2.1 presupunem r1=r2=...=rn=r si x1=x2=...xn=x
se obtine

=

*(cosnx+isinnx) (3)
Aceasta formula este cunoscuta sub numele de formula lui Moivre
Avantajul ridicarii unui numar complex cu aceasta formula este evident ,comparativ cu operatia similara efectuata algebric (cu Binomul lui Newton)
urmeaza