MatematicaMatematica a fost numită limbajul Universului. Oamenii de știință și inginerii vorbesc, de multe ori, despre eleganţa matematicii în ceea ce priveşte descrierea realităţii fizice, citând exemple cum ar fi π, E=mc2 și chiar utilizarea numerelor întregi, abstracte, pentru a număra obiectele din lumea reală.

 

 

 

Prin toate aceste exemple ce demonstrează modul în care matematica poate fi utilă pentru noi, rezultă că lumea fizică urmează, în mod natural, regulile matematicii precum o „limbă maternă" a sa și că matematica are propria sa existență ce se află în aşteptare de a fi descoperită? Acest punct de vedere privind natura relaţiei dintre matematică şi lumea fizică este numit platonism, dar nu toată lumea este de acord cu el.

Derek Abbott este profesor de inginerie electrică și inginerie electronică în cadrul University of Adelaide din Australia şi el a elaborat un studiu ce urmează să fie publicat în cadrul Proceedings of the IEEE, în care el susţine că platonismul matematic prezintă o imagine inexactă a realităţii. În schimb, el susţine un punct de vedere opus, diferit de cel platonic, în care afirmă că matematica este un produs al imaginaţiei umane ce este utilizat pentru a descrie realitatea.

Matematica ne oferă iluzia de a fi eficientă atunci când ne referim la exemplele ei de succes, susţine Abbott. Dar sunt mult mai multe cazuri în care matematica este ineficientă, în comparaţie cu cele în care ea este eficientă.

Acest argument nu este nou. De fapt, Abbott (pe baza experienţei sale, deci neavând suport ştiinţific) a estimat că în timp ce 80% dintre matematicieni înclină spre o abordare de tip platonism, inginerii preferă un scenariu diferit de cel platonic. Fizicienii tind să fie „sfătuitorii secreţi ai celor ce se opun platonismului", spune el, ceea ce înseamnă că ei apar adesea în public ca platonicieni. Dar atunci când ei sunt întrebaţi, în privat, asupra acestui subiect, se poate „adeseori obţine o mărturisire diferită de cea platonică", spune el.

 

În consecinţă, dacă matematicienii, inginerii şi fizicienii pot colabora pentru a-şi putea desfăşura activitatea, în ciuda diferențelor de opinie cu privire la acest subiect filosofic, ce contează care este adevărata natură a matematicii în relația sa cu lumea fizică?

Motivul, spune Abbott, este că atunci când recunoaștem că matematica este doar o construcţie mentală, doar o aproximare a realității, care are slăbiciunile și limitările sale și care va eşua, la un moment dat, deoarece formele matematice perfecte nu există în universul fizic, atunci se va putea vedea cât de ineficientă este matematica.

Și acesta este principalul punct de vedere al lui Abbott (și cel mai controversat): matematica nu este eficientă, într-un mod deosebit, pentru descrierea realităţii și, cu siguranță, nu reprezintă „miracolul" de care unii oameni de ştiinţă s-au minunat atât de mult. Einstein, un matematician ce a preferat o doctrină opusă platonismului, a fost un om de știință care s-a minunat de puterea matematicii. El a întrebat: „Cum se face că matematica, care este la urma urmei un produs al gândirii umane, care este independentă de experiență, este atât de admirabil adaptată la obiectele din realitate?".

În anul 1959, fizicianul și matematicianul Eugene Wigner a descris această problemă ca fiind „eficacitatea neobişnuită a matematicii". Ca răspuns, lucrarea lui Abbott este intitulată „Ineficienţa obişnuită a matematicii". Ambele puncte de vedere se bazează pe ideea că matematica este o invenţie omenească. Dar, în timp ce Wigner şi Einstein ar putea fi consideraţi matematicieni optimişti, care au observat modurile prin care matematica descrie cu precizie realitatea, punctul de vedere pesimist al lui Abbott indică faptul că aceste modele matematice vor eşua în scurt timp.

Ce anume face ca matematica să pară atât de eficientă? Abbott explică faptul că matematica oferă reprezentări simple, idealizate, ale unei lumi fizice ce este, în mod inerent, complexă.

„Formulele matematice analitice reprezintă o modalitate prin care se pot face descrieri simple ale observaţiilor noastre", a declarat el. „Ca oameni, noi suntem în căutarea acestor formulări simplificatoare pe care matematica le oferă, deoarece creierul nostru are o capacitate limitată de analiză a datelor. Matematica este eficientă atunci când ne oferă expresii simple, compacte, pe care le putem aplica cu regularitate pentru mai multe situaţii. Ea este ineficientă atunci când nu reuşeşte să ofere această simplitate elegantă. Tocmai această simplitate face ca matematica să fie utilă şi practică, dacă putem obţine această simplitate fără a reduce mult precizia.

Eu susțin că există mult mai multe cazuri în care matematica este ineficientă decât atunci când ea este eficientă. Matematica ne oferă doar iluzia de a fi eficientă atunci când ne concentrăm asupra exemplelor sale de succes. Dar exemplele ei de succes se aplică, probabil, doar la o mică parte din posibilele întrebări pe care le avem despre Univers".

Unele dintre argumentele prezentate în studiul lui Abbott se bazează pe ideile matematicianului Richard W. Hamming, care, în anul 1980, a identificat patru motive pentru care matematica nu este atât de eficientă pe cât se crede. Deşi Hamming a renunţat la ideea că matematica este considerată eficienta într-un mod nejustificat, Abbott arată că motivele indicate de Hamming sprijină o concepţie diferită de cea platonică prin nivelul redus de eficiența a acesteia.

Iată cinci motive indicate de Abbott care susţin că matematica este destul de ineficientă în descrierea lumii fizice şi care se bazează, în mare măsură, pe un punct de vedere diferit de cel platonician, considerând că matematica este o doar o invenție umană:

:: Matematica pare a fi de succes, deoarece noi am aflat doar de problemele pentru care am găsit o modalitate de a aplica matematica. Au existat, probabil, milioane de modele matematice care s-au dovedit eronate, dar nimeni nu le-a acordat vreo atenţie. („Un geniu, scrie Abbott, este o persoană care are o idee importantă, dar care are înţelepciunea să nu vorbească despre celelalte mii de gânduri nebuneşti pe care le-a avut").

:: Aplicarea matematicii în practică se modifică de la o scară la alta. De exemplu, în anii 1970, atunci când mărimea tranzistorilor era de ordinul micronilor, inginerii au putut descrie comportamentul tranzistorilor utilizând ecuaţii elegante. Astăzi, în lumea tranzistorilor având dimensiuni mai mici de ordinul micronilor, apar fenomene complicate pe care modelele matematice anterioare le-au neglijat, astfel încât inginerii au apelat la programele de simulare computerizate pentru a modela comportarea celor mai mici tranzistori. O formulă matematică eficientă ar trebui să poată descrie funcţionarea tranzistorilor, indiferent de mărimea lor, dar o astfel de formulă unificatoare nu există.

:: Deși modelele noastre matematice par să se aplice indiferent de perioada de timp considerată, noi am creat, probabil, descrieri matematice ce sunt influenţate de durata de viaţa a oamenilor. De exemplu, considerăm Soarele ca fiind sursa de energie pentru planeta noastră, dar în cazul în care durata de viaţă umană ar fi la fel de mare ca și cea a Universului, atunci, probabil, Soarele ar părea a fi doar o fluctuație de scurtă durată care ar aduce rapid planeta noastră în echilibru termic cu acesta, atunci când Soarele se transformă într-o stea gigantă roșie. Din acest punct de vedere, Pământul nu primeşte o energie utilă de la Soare.

:: Chiar şi operaţia de numărare are limitele sale. Când numărăm banane, de exemplu, la un moment dat numărul de banane va fi atât de mare, încât atracţia gravitaţională va aduna toate bananele într-o gaură neagră. La un moment dat, nu ne mai putem baza pe numere pentru a aduna.

:: Ce cunoaştem despre conceptul de număr întreg? Descrie acesta locul în care o banană se termină şi începe următoarea? Deşi noi credem că ştim răspunsul la întrebare, prin analiza vizuală, de fapt nu avem o definiţie matematică formală. Să considerăm un caz logic extrem. Dacă oamenii nu ar avea un corp solid, ci gazos şi ei ar trăi în nori, numărarea obiectelor individuale nu ar fi atât de evidentă. În acest mod, axiomele bazate pe operaţia simplă de numărare se dovedesc a nu fi înnăscute în Universul nostru, ele sunt doar un concept uman. În acest fel, nu există nicio garanţie că descrierile matematice pe care le vom crea vor fi universal valabile.

Pentru Abbott, aceste puncte de vedere şi multe altele ce sunt indicate în lucrarea sa arată că matematica nu este o descoperire miraculoasă care oferă o descriere ce se potriveşte cu realitatea, într-un mod de neînţeles. În cele din urmă, matematica este o invenţie omenească, care este utilă, limitată și care oferă răspunsurile aşteptate din partea ei.

Pentru cei care caută ceva mai practic dintr-o astfel de discuţie, Abbott explică faptul că această înţelegere asupra matematicii ne poate permite o mai mare libertate de gândire. Un exemplu ar fi îmbunătăţirea operaţiilor cu vectori. Metoda actuală implică produsul scalar şi produsul vectorial al acestora, un instrument matematic „mai degrabă greoi" care nu se poate generaliza la dimensiuni mai mari. În ultima vreme a existat un interes sporit în promovarea unei abordări alternative numită algebră geometrică, care depăşeşte limitările induse de produsul vectorial şi scalar al vectorilor şi care poate fi extinsă la dimensiuni mai mari. Abbott lucrează în prezent la o lucrare, de tip tutorial, consacrată algebrei geometrice pentru inginerii electricieni. Aceasta urmează să fie publicată în viitorul apropiat.



Traducere de Cristian-George Podariu după mathematics-effective-world cu acordul editorului