InfinitUniversul nostru pare să fie condus de un set finit de legi, dar vorbim de multe ori despre lucruri care durează o eternitate. „Infinitul" este o idee ciudată. Dar este esenţială dacă doriţi să înţelegeţi concepte din filozofie şi matematică. Iată de ce.

 

 

 

Există trei domenii importante unde infinitul poate fi aplicat. El este folosit ca un instrument conceptual care ne ajută să descriem proprietăţile şi valorile obiectelor şi proceselor, fiind o noţiune importantă în filozofie, cosmologie şi metafizică şi, desigur, este important pentru matematică. Să aruncăm o privire, în detaliu, la fiecare dintre acestea.

Ansamblul infinitului

Adesea folosim cuvântul „infinit" când descriem ceva care merge la nesfârşit. Dar, de asemenea, poate fi folosit pentru a descrie ceva care nu merge pentru totdeauna sau pentru care valoarea sa este absolută (necondiţionată).

Să considerăm, de exemplu, utilizarea infinitului în sport şi jocurile de noroc. Aşa cum cunoaşte fiecare jucător de şah, fiecărei piese de şah i se atribuie o valoare numerică în conformitate cu importanţa ei tactică şi puterea ei. Aceste valori variază de la unu (pionii) la nouă (regina) şi ele sunt adesea folosite pentru a menţine un fel de scor pe măsură ce jocul progresează. Dar regelui din jocul de şah i se atribuie valoarea infinit şi aceasta pentru un motiv foarte întemeiat. Pierderea regelui este fatală. Acest eveniment opreşte jocul imediat, indiferent ce altceva s-ar putea întâmpla în partida de şah. Valoarea regelui, prin urmare, nu poate fi constrânsă în cadrul unui set finit de valori.

În mod similar, unui gol în prelungiri la hochei sau unui „gol de aur" în fotbal, li se poate, de asemenea, atribui o valoare infinită. Orice situaţie în care un singur gol provoacă întreruperea imediată a meciului şi odată cu aceasta determină, în mod instantaneu, atât victoria cât şi înfrângerea, depinde de un eveniment absolut.

Chiar mai important, filozofii, cercetătorii religiilor, experţii juridici şi cercetătorii din domeniul eticii atribuie adeseori o valoare infinită pentru viaţa umană. Într-adevăr, într-o societate cultă, suntem îngroziţi de ideea de a ataşa un preţ pentru un astfel de lucru. Noi, pur şi simplu, nu ne putem cumpăra sau vinde reciproc, nu putem face comerţ cu viaţa noastră. Desigur, acest lucru nu se aplică întotdeauna în practică. În timpul războiului, vieţi omeneşti sunt sacrificate pentru a proteja comunităţi mai mare de cetăţeni şi pentru a susţine anumite valori şi instituţii. Traficul uman ilicit este, de asemenea, o problemă în curs de desfăşurare. Dar la un nivel conceptual, aşa cum tot mai mulţi gânditori religioşi susţin (în special creştinii), nu există niciun preţ destul de mare pentru a permite „cumpărarea" unei vieţi umane şi nu există nicio situaţie suficient de gravă pentru a justifica uciderea unui semen (conform poruncii Dumnezeieşti: Să nu ucizi); numai Dumnezeu are puterea şi dreptul de-a lua darul vieţii.

Şi aici găsim un altfel de infinit: moartea. Presupunând că nimic nu ne aşteaptă în viaţa de apoi, încetarea vieţii noastre reprezintă un fel de eternitate. E o eternitate de neant, dar totuşi o eternitate.


Infinitul în toate direcţiile

Dar, în timp ce infinitul poate fi folosit ca un instrument conceptual util, există, de asemenea, ceva care poate fi tangibil şi real din punct de vedere fizic, mai ales atunci când se analizează câteva dintre aspectele mai ciudate din filozofie, cosmologie şi metafizică.

Să analizăm, de exemplu, concluziile ciudate ale teoriei corzilor. Deşi controversată, teoria sugerează existenţa a 10 sau 11 dimensiuni ale spaţiu-timpului. Dimensiunile suplimentare, în număr de şase sau şapte, ar putea fi compactate la o scară foarte mică sau Universul nostru s-ar putea afla pe o membrană D, un obiect dinamic având 3+1 dimensiuni. Fizicianul Brian Greene din cadrul Columbia University susţine că aceste membrane ar putea susţine universuri paralele, ceea ce a condus la promovarea ipotezei multiversului şi a existenţei unui potenţial set infinit de universuri sub forma unor membrane, aceste universuri nefiind întotdeauna paralele între ele şi provocând constant ciocniri reciproce şi care generează, la rândul lor, o serie infinită de evenimente succesive de tip Big Bang.




Dar există şi alte exemple. Cosmologul Lee Smolin, în cartea sa The Life of the Cosmos, a propus că universurile nu sunt nimic mai mult decât generatoare de găuri negre. În conformitate cu teoria sa numită selecţia naturală cosmologică, fiecare gaură neagră generează un univers. Procesul se repetă în continuare, probabil timp de o eternitate.

Şi într-adevăr, noi nu suntem siguri dacă universul (sau multiversul) are un sfârşit sau de fapt un început. Poate că el a fost mereu aici şi va fi întotdeauna.

Noi nu suntem, de asemenea, siguri cu privire la forma cuantumului spaţiu - timp. Dacă acesta este plat atunci el s-ar putea întinde la infinit, dar el trebuie să se repete la un moment dat datorită numărului finit de particule ce pot fi dispuse în spaţiu şi timp. Dacă această ipoteză este adevărată, atunci există un număr infinit de universuri.

Mecanica cuantică sugerează, de asemenea, existenţa unui univers infinit. Existenţa universurilor multiple din cadrul interpretării Everett a mecanicii cuantice, Everett’s Many Worlds Interpretation (MWI), afirmă că diferitele ramuri distincte de Univers există pentru a se potrivi fiecare oricărui rezultat posibil. S-ar putea să trăim într-o reţea infinită de cronologii alternative.

Aceste afirmaţii determină apariţia unor consecinţe interesante, chiar profund tulburătoare.

Dacă interpretarea MWI a mecanicii cuantice este adevărată, de exemplu, fiecare rezultat posibil care poate fi observat va fi observat, indiferent cât de ridicol sau de extrem este acesta.

Considerând un interval infinit de timp, mintea separată de trup, numită creier Boltzman, ar putea în cele din urmă apare datorită unei configuraţii adecvate de materie şi energie. Din fericire, o nouă interpretare din teoria corzilor sugerează că umanitatea nu va fi niciodată depăşită de aceste apariţii spontane de creiere spaţiale imateriale.




Matematica problemei

În cele din urmă, infinitul este utilizat în matematică, deşi nu fără controverse. Este adesea confundat cu un număr sau cu o entitate singulară, dar el este mai mult o etichetă care poate fi folosită pentru a descrie o varietate de obiecte matematice şi concepte care sunt mai mari decât orice poate fi fizic sau conceptual descris în lumea reală. Mai simplu, el este un termen care poate fi acordat oricărui număr infinit sau grupuri de numere. Şi într-adevăr, ideea este aceea că el nu poate fi descris deoarece nu există o limită a lui.

Există două ramuri distincte în care infinitul este utilizat în matematică, numite teoria mulţimilor şi teoria topologiilor (mai sunt şi altele, de asemenea, precum limitele matematice şi algebra, dar noi nu vom discuta despre ele în acest moment).


Distracţie cu mulţimi

Teoria mulţimilor, în care numerele cu elementele corespondente pot fi grupate în mulţimi, arată că există mai multe tipuri de infinitate şi că unele dintre acestea sunt mai mari decât altele, un rezultat cel puţin surprinzător. În secolul al XIX-lea, Georg Cantor a utilizat acest concept pentru a descrie două tipuri diferite de infinitate, numărabile şi nenumărabile.

Proprietatea de a putea fi numărat descrie orice poate fi aliniat astfel încât acesta poate fi numărat, toate mulţimile care pot fi puse într-o corespondenţă de unu la unu cu numerele naturale pot fi considerate numărabile.

În teoria mulţimilor, aceasta ar include un grup precum {1,2,3,4} şi {banana, tort, furculiţa, şerveţel}, o mulţime având puterea 4 (adică numărul elementelor). Unele dintre aceste mulţimi numărabile sunt infinite (numite infinităţi numărabile), similar unei mulţimi de numere întregi (da, membrii unei mulţimi numărabile infinite pot fi numărate, chiar dacă ar dura o infinitate să facem acest lucru). Pentru că un singur număr nu poate descrie dimensiunea unei mulţimi infinite, Cantor a folosit termenul aleph-o sau aleph-null (alef fiind prima literă a alfabetului ebraic) pentru a desemna cardinalul sau puterea unei mulţimi infinite.

Într-adevăr, aleph-0 este un număr ce exprimă cardinalul unei mulţimi în ciuda faptului că infinitul nu ar trebui să fie considerat un număr, dar operaţia de numărare poate fi aplicată la cantităţile infinite atâta timp cât definiţiile compatibile sunt păstrate. Inutil să mai spun, numerele cardinale infinite nu urmează aceleaşi reguli matematice precum numerele finite, nu poţi doar să le adaugi într-o ecuaţie şi să speri la mai bine.

Aleph-0 include astfel de seturi precum mulţimea tuturor numerelor prime, toate numerele raţionale, toate numerele din algebră, mulţimea compusă din şiruri binare având toate o lungime finită, precum şi mulţimea tuturor submulţimilor finite conţinând orice seturi numărabile infinite.

Interesant, numărul 2 este un infinit numărabil. El este un număr care poate fi realizat fizic, dar este alcătuit dintr-un număr infinit de fracţii.

Infiniţii nenumărabili, pe de altă parte, sunt reprezentaţi de numerele iraţionale, cum ar fi rădăcina pătrată a lui 2 sau numerele transcendentale, cum ar fi pi şi e. Motivul pentru care aceste numere sunt considerate nenumărabile este pentru că ele nu pot fi numerotate. Cantor a demonstrat acest lucru oferind un exemplu de raţionament. Dacă am avea un sistem de numerotare care ar trebui să numere toate numerele reale, am putea parcurge în jos lista, iar pentru al n-lea termen, am citi cu uşurinţă cifra de la poziţia n. Dar am putea apoi să o schimbăm cu o alta diferită şi să o utilizăm ca pe noul nostru număr. Dar din moment ce acest „număr nou construit" este diferit de orice alt număr din listă (cel puţin la cifra n), atunci acesta trebuie să lipsească din enumerare. Lista nu poate fi enumerată în orice mod. Ea este pur şi simplu prea mare şi, în consecinţă, nenumărabilă.


Numerotare fără sens

Ca o paranteză, mulţimile de numere nu pot accepta conceptul de infinit. Niciun concept de „infinit" nu poate exista în contextul oricărei mulţimi de numere, dacă prin mulţimea de numere ne referim la orice colecţie de concepte care implică operaţii precum ar fi adunarea şi înmulţirea, operaţii care respecta proprietăţile obişnuite de aritmetică.

De exemplu, ce reprezintă infinit minus 1? Acesta nu poate fi un număr finit, deoarece un număr infinit plus 1 este egal cu infinit. Acest lucru ar încălca regulile de aritmetică, ceea ce ar conduce la ecuaţii absurde precum ar fi -1=0, ceea ce nu este adevărat. Deci, infinitul nu există, dacă prin „există" ne referim la contextul unei mulţimi de numere.


Spaţii topologice

Spaţiile topologice descriu proprietăţile suprafeţelor în afară de unghiuri şi distanţe. În consecinţă, dacă două suprafeţe pot fi puse în corespondenţă împreună (realizate identic) prin întindere şi tragere, mai degrabă decât prin tăiere şi lipire, acestea sunt considerate identice din punct de vedere topologic.

Interesant, mulţimea numerelor reale este considerată un spaţiu topologic. Putem propune o definiţie a ceea ce înseamnă ea pentru ca o secvenţă de numere, mai degrabă decât de suprafeţe, să conveargă. De exemplu, şirul {1,1; 1,01; 1,001; 1,0001...} converge la numărul 1, în timp ce şirul {1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2...} nu converge la nimic.

În calcule, se spune că şirurile precum {1,2,3,4...} converg spre infinit. Dar se poate spune cu adevărat că există un obiect real numit „infinit" şi că acest şir poate converge către el? Există un spaţiu topologic, adică un set de obiecte plus o definiţie a ce înseamnă convergenţa, care include numerele reale şi, de asemenea, un concept de infinitate la care converg unele şiruri de numere reale?

Probabil surprinzător, răspunsul este da.

Site-ul Ask a mathematician ne oferă o explicaţie:

Când matematicienii spatiilor topologice lucrează cu linia numerelor reale (de exemplu, mulţimea numerelor reale împreună cu conceptul obişnuit de distanţă care determină structura topologică), ei uneori introduc un „punct la infinit". Acest punct poate fi înţeles ca fiind punctul pe care îl aveţi întotdeauna în faţă chiar dacă aţi început să vă deplasaţi de la 0 şi aţi călătorit în oricare direcţie, cu orice viteză, atâta timp cât aţi dorit. În mod ciudat, atunci când se adaugă acest punct de infinit la linia numerelor reale, el o face pe aceasta echivalentă topologic cu un cerc (gândiţi-vă la cele două capete ale liniei numerelor unindu-se împreună până la acest punct de infinit unic şi formând o buclă). Aceeaşi procedură poate fi, de asemenea, aplicată pentru plan (care reprezintă o suprafaţă având două dimensiuni constând din puncte (x, y) unde x şi y sunt oricare numere reale).

Prin adăugarea un punct la infinit, noi compactăm planul, transformându-l într-o formă echivalentă topologic ce reprezintă o sferă (imaginaţi-vă, dacă puteţi, marginile unui plan infinit ce se pliază până când toate acestea se unesc într-un punct unic de infinit).

Infinit
Credit: AAM


Ca o notă de încheiere şi după cum rezultă şi din cele scrise pe site-ul anterior menţionat, este important să ne amintim că la întrebarea despre infinit din matematică nu se poate răspunde incontestabil. Noi putem întreba, „cum apar obiectele infinite în matematică?", dar putem răspunde doar că acestea apar în multe şi foarte importante moduri.



Traducere de George Cristian Podariu după does-infinity-really-exist.