Integrala ca arie sub curbaHenri Lebesgue (1875-1941) a fost un matematician francez, cunoscut pentru teoria integrării. Teoria lui Lebesgue privind integrarea a fost publicată în disertaţia sa "Integrală, lungime, arie", la Universitatea din Nancy în 1902.

 

 

 

 

 

Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann este foarte util în aplicaţii şi aduce o mare flexibilitate, atrăgând atenţia asupra ponderilor din sumă.

O mulţime {tex}A\subset R{/tex} se numeşte neglijabilă dacă pentru orice {tex}\epsilon >0{/tex}, există un şir {tex}\(I_n\)_n{/tex} de intervale mărginite, de numere reale astfel încât {tex}\sum_{n=0}^{\infty}l(I_n)<\epsilon{/tex} şi {tex}A\subset \bigcup_{n=0}^{\infty}I_n{/tex} unde {tex}l(I_n){/tex} reprezintă lungimea obişnuită a intervalului {tex}I_n{/tex}.


Mulţimile neglijabile au proprietăţile:

1. Dacă {tex}A\subset R{/tex} este finită (în particular vidă), atunci A este neglijabilă.

2. Dacă B este neglijabilă şi {tex}A\subset B{/tex}, atunci A este neglijabilă.

3. Dacă {tex}(A_n)_{n\in N}{/tex} este un şir de mulţimi neglijabile, atunci {tex}\bigcup_{n=0}^{\infty}A_n{/tex} este neglijabilă. De exemplu, orice mulţime cel mult numărabilă este neglijabilă (în particular N, Z, Q sunt mulţimi neglijabile).


Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann:

Fie {tex}f:[a,b]\rightarrow R{/tex}. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. funcţia f este integrabilă Riemann

2. funcţia f este mărginită şi mulţimea {tex}D_f{/tex} a punctelor sale de discontinuitate este neglijabilă.

Observaţie foarte utilă în aplicaţii: Dacă funcţia {tex}f: [a,b]\rightarrow R{/tex} este mărginită pe compactul {tex}[a,b]{/tex} şi are un număr finit de puncte de discontinuitate, atunci f este integrabilă pe {tex}[a,b]{/tex}.

 

 

Bibliografie: Sorin Rădulescu, Marius Rădulescu, Analiza matematică, Ed. Paralela 45, 2004.