Primitivele binome sunt primitive de forma {tex}\int x^m(ax^n+b)^p\,dx{/tex},

unde {tex}a,b\in\mathbb{R}; m,n,p\in\mathbb{Q}{/tex} şi care îndeplinesc una din condiţiile lui Cebâşev:

 

1.
{tex}p\in\mathbb{Z}{/tex} , unde {tex}\frac{m+1}{n}=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(x^n)^{\frac{1}{s}}{/tex}


2.
{tex}\frac{m+1}{n}\in\mathbb{Z}{/tex},
unde {tex}p=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(ax^n+b)^{\frac{1}{s}{/tex}


3.
{tex}\frac{m+1}{n} + p\in\mathbb{Z}{/tex} , unde {tex}p=\frac{r}{s}{/tex},
atunci se face substituţia {tex}t=(a+bx^{-n})^{\frac{1}{s}{/tex}


Aceste substituţii reduc calculul primitivei {tex}\int x^m(ax^n+b)^p\,dx{/tex}
la calculul primitivei dintr-o funcţie raţională.

 

 

Într-adevăr,

1. Cu substituţia
{tex}t=(x^n)^{\frac{1}{s}}{/tex},
avem
{tex}x=(t^s)^{\frac{1}{s}},dx=\frac{s}{n}t^{\frac{s}{n}-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\int (t^s)^{\frac{m}{n}}(at^s+b)^p\frac{s}{n}t^{\frac{s}{n}-1}\,dt
=\frac{s}{n}\int t^{r-1}(at^s+b)^p\,dt=\int R(t)\,dt{/tex}


2. Cu substituţia
{tex}t=(ax^n+b)^{\frac{1}{s}{/tex},
avem
{tex}x=\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}},dx=\frac{s}{na}\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}-1}t^{s-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\tiny \int \left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{m}{n}}t^{sp}\frac{s}{na}\left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{1}{n}-1}t^{s-1}\,dt=\frac{s}{na}\int \left(\frac{t^s-b}{a}\right)^{\frac{m+1}{n}-1}t^{r+s-1}\,dt=\int R(t)\,dt{/tex}


3. Cu substituţia
{tex}t=(a+bx^{-n})^{\frac{1}{s}{/tex},
avem
{tex}x=\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}},dx=\frac{-s}{nb}\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}+1}t^{s-1}dt{/tex},
de unde

{tex}\tiny \int \left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{m}{n}}\left(\frac{bt^s}{t^s-a}\right)^p\frac{-s}{nb}\left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{1}{n}+1}t^{s-1}\,dt=-\frac{s}{nb}\int \left(\frac{b}{t^s-a}\right)^{\frac{m+1}{n}+p+1}t^{r+s-1}\,dt=\int R(t)dt{/tex}


Observaţie: P.L.Cebâşev a arătat că,
dacă {tex}p,\frac{m+1}{n}{/tex} şi {tex}\frac{m+1}{n}+p\notin\mathbb{Z}{/tex},
atunci primitiva nu poate fi rezolvată prin mijloace elementare.

 

 

Bibliografie: Gh. Sireţchi, Calcul diferenţial şi integral, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985.