Se numeşte funcţie aritmetică orice funcţie  {tex}f:N^*\rightarrow C{/tex} . Funcţia aritmetică  {tex}\varphi :N^*\rightarrow N^*,\varphi (n)={/tex} numărul numerelor naturale k, mai mici sau egale cu n şi prime cu n, se numeşte funcţia aritmetică a lui Euler. Adică  {tex}\varphi (n) = \{ k\in N^*|1\le k\le n,(k,n)=1 \}{/tex}.

Funcţia lui Euler  {tex}\varphi :N^*\rightarrow N^*{/tex} are expresia  {tex}\varphi (n)= n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)...\left(1-\frac{1}{p_m}\right){/tex}, unde {tex}p_1,p_2,...,p_m{/tex} sunt numerele prime care apar în descompunerea lui n în factori primi {tex}n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}...{p_m}^{k_m}{/tex} .

Observaţii:

1) Funcţia lui Euler este funcţie aritmetică multiplicativă {tex}\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n){/tex} dacă {tex} (m,n)=1{/tex} .

2) Dacă {tex}(Z_n,+){/tex} este grupul claselor de resturi modulo n atunci  {tex}\hat{k}\in Z_n{/tex} este generator pentru {tex}Z_n{/tex} dacă şi numai dacă {tex}(k,n)=1{/tex} , deci  {tex}\varphi (n){/tex} este numărul generatorilor grupului  {tex}(Z_n,+){/tex} .

3) Dacă {tex}(Z_n,\cdot ){/tex} este monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n, o clasa {tex}\hat{k}\in Z_n{/tex}  este element inversabil dacă şi numai dacă {tex}(k,n)=1{/tex} , deci dacă {tex}(U(Z_n),\cdot){/tex} este grupul unităţilor modulului {tex}(Z_n,\cdot ){/tex} atunci {tex}\varphi (n)=|U(Z_n)|{/tex} (ordinul grupului).

 


Bibliografie: Matematică pentru grupele de performanţa, editura Dacia Educaţional.