Cum aproape orice teoremă existentă are în componenţa ei predicate, pentru a demonstra aceste teoreme este necesară cunoaşterea elementelor de calculul predicatelor.

 

Tabel de adevăr
Tabel de adevăr

Noţiunea de predicat

Un predicat (sau propoziţie cu variabile) este un enunţ care depinde de una sau mai multe variabile şi are proprietatea că pentru orice "valori" date variabilelor este o propoziţie adevărată sau falsă. În funcţie de numărul de variabile, predicatele pot fi unare, binare, ternare, ... . De obicei, predicatele se notează cu {tex}$ p (x, y, z, ... ) ${/tex}, {tex}$ q (x,y,z, ... ) ${/tex}. Odată cu definirea unui predicat, trebuie definită şi mulţimea din care fac parte variabilele.


Cuantificatorul existenţial
( {tex}$ \exists ${/tex} ) şi cuantificatorul universal ( {tex}$ \forall ${/tex} )

În majoritatea predicatelor apar atât cuantificatorii existenţiali ( {tex}$ \exists ${/tex} ), cât şi cei universali ( {tex}$ \forall ${/tex} ).

Propoziţia "există cel puţin un {tex}$ x ${/tex} din {tex}$ E ${/tex} astfel încât {tex}$ p(x) ${/tex}" se notează {tex}$ ( \exists x ) p(x) {/tex}. Această propoziţie este adevărată când există cel puţin un element {tex}$ x _ {0} ${/tex} din {tex}$ E ${/tex}, astfel încât propoziţia {tex}$ p(x _ {0}) ${/tex} să fie adevărată şi este falsă când nu există nici un {tex}$ x _  {0}${/tex} din {tex}$ E ${/tex} astfel încât  {tex}$ p(x _ {0}) ${/tex} să fie adevărată.

Totodată, propoziţia "orice {tex}$ x ${/tex} din {tex}$ E ${/tex} are loc {tex}$ p(x) ${/tex}" se notează {tex}$ ( \forall x ) p(x) ${/tex}. Această propoziţie este adevărată dacă pentru orice element {tex}$ x _ {0} ${/tex} din {tex}$ E ${/tex}, {tex}$ p(x _ {0}) ${/tex} este adevărată, fiind falsă dacă există {tex}$ x _ {0} ${/tex} din {tex}$ E ${/tex} astfel încât {tex}$ p(x _ {0}) ${/tex} să fie falsă.


Echivalenţa predicatelor

Două predicate {tex}$ p(x, y, z, ...), q(x, y, z, ...) ${/tex} sunt numite echivalente şi scriem {tex}$ p(x, y, z, ...) \Leftrightarrow q(x ,y, z, ...) ${/tex} dacă oricum am alege valorile variabilelor {tex}$ x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}, ... ${/tex}, propoziţiile {tex}$ p(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}, ...) ${/tex} şi {tex}$ q(x _ {0}, y _ {0}, z _ {0}, ...) ${/tex} au aceeaşi valoare de adevăr.

Echivalenţa a două predicate se demonstrează la fel ca şi echivalenţa a două propoziţii.


Reguli de negaţie

Fie {tex} p(x) ${/tex} un predicat unar, unde {tex}$ x ${/tex} desemnează un element din mulţimea {tex}$ E ${/tex}.

Atunci:

1. {tex}$ \rceil (( \exists x ) p(x)) \equiv ( \forall x ) \rceil p(x) ${/tex}

2. {tex}$ \rceil (( \forall x ) p(x)) \equiv ( \exists x ) \rceil p(x) ${/tex}
(aici semnul "{tex}$ \equiv ${/tex}" are scopul de a arăta că cele două propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr )


Reguli de comutativitate

În cadrul predicatelor cu mai multe variabile ( predicate binare, ternare ...) cuantificatorii existenţiali şi universali leagă propoziţiile între ele. Trebuie, totuşi să semnalăm următoarele reguli de comutativitate a cuantificatorilor:
{tex}$ ( \forall x ) ( \forall y ) p(x,y) \equiv ( \forall y ) ( \forall x ) p(x,y)
( \exists x ) ( \exists y ) p(x,y) \equiv ( \exists y ) ( \exists x) p(x,y) ${/tex}

Astfel din regulile de negaţie pentru predicatele unare, putem să scriem şi regulile de negaţie pentru cele binare:
{tex}$ \rceil (( \exists x ) ( \exists y ) p(x,y)) \equiv ( \forall x ) \rceil (( \exists y ) p(x,y) )  \equiv ( \forall x ) ( \forall y ) \rceil p(x,y) ${/tex}.

Lecţie scrisă de Tiberiu Puican pe baza manualului: Matematică. Trunchi comun şi curriculum diferenţiat, clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, R.A. Bucureşti, 2004.