Elementele de calcul propoziţional şi de logică matematică reprezintă o ramură a matematicii ce ne ajută să calculăm valoarea de adevăr a diverse propoziţii (simple sau compuse). Cu ajutorul tabelelor de adevăr se pot obţine rezultate ce o să ne ajute în viitor în cadrul enunţării anumitor propoziţii şi stabilirii unor valori de adevăr pentru expresiile matematice evaluate.

 

Tabel de adevăr
Tabel de adevăr

 

Noţiunea de propoziţie

În cadrul demonstraţiilor matematice, propoziţia este definită ca fiind un enunţ (ansamblu de semne cu un sens dat) despre care se poate şti dacă este adevărat sau fals, dar niciodată ambele simultan.

Majoritatea problemelor din cadrul acestei ramuri a matematicii se rezolvă cu ajutorul unor tabele de adevăr, tabele în care sunt notate valorile de adevăr ale propoziţiilor cu care se lucrează.

Dacă o propoziţie este adevărată, atunci aceasta are ca şi valoare de adevăr "adevărul" (şi o vom nota în cadrul tabelelor de adevăr cu "1" sau "a"); iar atunci când propoziţia este falsă, valoarea ei de adevăr este "falsul" (şi o vom nota în cadrul tabelelor de adevăr cu "0" sau "f").


Conectori logici

Vom nota propoziţiile cu {tex}$ p, q, r, ... ${/tex} sau {tex}$ p _ 1, p _ 2, p _ 3, ... ${/tex} . Cu ajutorul conectorilor logici "non", "şi", "sau", "implicaţia propoziţiilor", "echivalenţa propoziţiilor" se obţin propoziţii din ce în ce mai complexe.

În continuare vom explica modul de obţinere a noi propoziţii folosind conectorii logici.


1. Negaţia propoziţiilor

Negaţia propoziţiei {tex}$ p ${/tex} este propoziţia {tex}$ "non  p" ${/tex}, care se notează {tex}\bar{p}{/tex} sau {tex}$ {\rceil}p ${/tex} şi care este adevărată când {tex}$ p ${/tex} este falsă şi falsă când {tex}$ p ${/tex} este adevărată.

Valoarea de adevăr a propoziţiei  {tex}\bar{p}{/tex} e dată de tabelul de mai jos:

{tex}$ p ${/tex} {tex}\bar p{/tex}
1 0
0 1


2. Conjuncţia propoziţiilor

Conjuncţia propoziţiilor {tex}$ p ${/tex}, {tex}$ q ${/tex} este propoziţia {tex}$ p \bigwedge q ${/tex} ( se citeşte {tex}$ p ${/tex} şi {tex}$ q ${/tex}) şi este adevărată atunci când atât {tex}$ p ${/tex} cât şi {tex}$ q ${/tex} sunt adevărate.

Valoarea de adevăr a propoziţiei {tex}$ p \bigwedge q ${/tex} este dată de tabelul de mai jos:

{tex}$ p ${/tex} {tex}$ q {/tex} {tex}$ p \bigwedge q ${/tex}
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0


3. Disjuncţia propoziţiilor

Disjuncţia propoziţiilor {tex}$ p ${/tex},{tex}$ q ${/tex} este propoziţia {tex}$ p \bigvee q ${/tex} ( se citeşte {tex}$ p ${/tex} sau {tex}$ q ${/tex}) şi este adevărată când cel puţin una din propoziţiile {tex}$ p ${/tex} sau {tex}$ q ${/tex} este adevărată.

Valoarea de adevăr a propoziţiei {tex}$ p \bigvee q ${/tex} este dată de tabelul de mai jos:

{tex}$ p ${/tex} {tex}$ q {/tex} {tex}$ p \bigvee q ${/tex}
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0


4. Implica
ţia propoziţiilor

Implicaţia propoziţiilor {tex}$ p ${/tex}, {tex}$ q ${/tex} este {tex}$ p \rightarrow q ${/tex} ( se citeşte "{tex}$ p ${/tex} implică {tex}$ q ${/tex}" sau "dacă {tex}$ p ${/tex}, atunci {tex}$ q ${/tex}" ) şi este falsă numai când {tex}$ p ${/tex} este adevărată şi când {tex}$ q ${/tex} este falsă.

În implicaţia {tex}$ p \rightarrow q ${/tex}, {tex}$ p ${/tex} se numeşte ipoteza (sau antecedentul) implicaţiei, iar {tex}$ q ${/tex} se numeşte concluzia (sau consecventul) implicaţiei.


5. Echivalenţa propoziţiilor

Cu propoziţiile {tex}$ p ${/tex}, {tex}$ q ${/tex} putem forma propoziţia compusă {tex}$ (p \rightarrow q) \bigwedge ( q \rightarrow p ) ${/tex}, care se notează {tex}$ p \leftrightarrow q ${/tex} ( se citeşte "{tex}$ p ${/tex} dacă şi numai dacă {tex}$ q ${/tex}" ).

Din tabelul de mai jos se poate observa că propoziţia {tex}$ p \leftrightarrow q ${/tex} este adevărată dacă şi numai dacă {tex}$ p ${/tex} şi {tex}$ q ${/tex} au aceeaşi valoare de adevăr.

{tex}$ p ${/tex} {tex}$ q {/tex} {tex}$ p \rightarrow q ${/tex} {tex}$ q \rightarrow p ${/tex} {tex}$ p \leftrightarrow q ${/tex}
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0




Lecţie scrisă de Tiberiu Puican pe baza manualului: Matematică. Trunchi comun şi curriculum diferenţiat, clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, R.A. Bucureşti, 2004.