Lecţie de algebră: inegalităţile mediilor aritmetică, geometrică, pătratică şi armonică.

Inegalităţile mediilor

{tex}\small \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac {1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le \sqrt {\frac {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2}{n}}{/tex}

În figura de mai sus avem, în ordine, media armonică, media geometrică, media aritmetică şi media pătratică a n numere reale strict mai mari decât zero.

Dacă exemplificăm pe două numere a şi b, unde a este mai mic decât b, aceste inegalităţi arată astfel:

{tex}a \le \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac {1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt {\frac {a^2 + b^2}{2}} \le b{/tex}

Egalitatea apare atunci când a=b.