Într-un articol recent am făcut o introducere a funcţiilor trigonometrice. Să vedem acum reprezentarea lor grafică şi explicaţiile de rigoare.

 

Introducere

Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, un referat de matematică cu o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizică? Echipa Scientia.ro face posibil acest lucru. Continuăm lecţiile de trigonometrie cu prezentarea graficelor funcţiilor sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Iată o animaţie care arată asocierea dintre sinus şi cosinus pe cercul trigonometric şi reprezentarea grafică. Graficul funcţiilor poartă numele de sinusoidă şi cosinusoidă.

Proprietăţile şi graficul funcţiei sinus

Sinus este o funcţie periodică, cu perioada principală {tex}2 \pi{/tex} - verificaţi voi ca {tex}\sin x = \sin(x+2\pi){/tex}, aşadar este suficient să reprezentăm graficul pe intervalul {tex}[0, 2\pi]{/tex}, deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie impară, adică {tex}\sin (-x) = -\sin x{/tex}, ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu originea axelor (O) – un prim indiciu despre cum ar arăta graficul.

Ştim, de asemenea, că funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus nu pot lua decât valori între -1 şi 1, deci imaginea funcţiei {tex}\sin x{/tex} este {tex}[-1,1]{/tex} – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1.

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom observa că funcţia creşte pe intervalul {tex}[0, \frac{\pi}{2}]{/tex}, descreşte pe intervalul {tex}(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}){/tex} şi creşte din nou pe intervalul {tex}[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]{/tex}.

{tex}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \\ Unghi (radiani) & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$\\ \\ $\sin x$ & $\frac{1}{2}\sqrt{0}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{1}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{4}$\\ \\ \end{tabular}{/tex}

Studiind acelaşi tabel de valori, găsim valoarea maximă şi cea minimă: 1 pentru {tex}x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi{/tex} şi -1 pentru {tex}x =  \frac{3\pi}{2} + 2k\pi{/tex}. Funcţia se anulează în {tex}x = k\pi{/tex}. k este un număr întreg.

Având la dispoziţie toate aceste informaţii, putem trasa graficul, care va arăta cam aşa:

Graficul functiei sin x


Proprietăţile şi graficul funcţiei cosinus

Cosinus este o funcţie periodică, cu perioada principală {tex}2 \pi{/tex} - verificaţi voi că {tex}\cos x = \cos(x+2\pi){/tex}, aşadar şi aici este suficient să reprezentăm graficul pe intervalul {tex}[0, 2\pi]{/tex}, deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie pară, adică {tex}\cos (-x) = \cos x{/tex}, ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu axa ordonatelor Oy - adică îndoind foaia în două după axa Oy ar trebui ca partea din stânga a graficului să se suprapună pe partea din dreapta a graficului.

După cum am menţionat şi mai sus, imaginea funcţiei {tex}\cos x{/tex} este {tex}[-1,1]{/tex} – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1.

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom observa că funcţia descreşte pe intervalul {tex}[0, \pi]{/tex}, creşte pe intervalul {tex}(\pi, 2\pi]{/tex}.

{tex}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \\ Unghi (radiani) & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$\\ \\ Cosinus & $\frac{1}{2}\sqrt{4}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{1}$ & $\frac{1}{2}\sqrt{0}$\\ \\ \end{tabular}{/tex}

Pe acelaşi tabel de valori din referat, găsim valoarea maximă şi cea minimă: 1 pentru {tex}x = 2k\pi{/tex} şi -1 pentru {tex}x =  (2k+1)\pi{/tex}. Funcţia se anulează în {tex}x = \frac{\pi}{2}+2k\pi{/tex}, cu k număr întreg.

Graficul functiei cos x

A venit momentul acum să vedem care e diferenţa dintre graficele funcţiilor sinus şi cosinus, căci ambele sunt sinusoide: există un decalaj de {tex} \frac{\pi}{2}{/tex} între ele:

Sinus si cosinus - reprezentari grafice

credit: Wikimedia Commons

 

 

Proprietăţile şi graficul funcţiei tangentă

Dacă funcţiile sinus şi cosinus aveau ca domeniu de definiţie mulţimea numerelor reale, la funcţia tangentă domeniul nu mai este întreaga mulţime, deoarece {tex}\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}{/tex} şi atunci {tex}\cos x{/tex} trebuie să fie diferit de 0, adică {tex}x \ \epsilon \ \mathbb{R} - \{\frac{\pi}{2}+2k\pi\}{/tex}. Dreptele de ecuaţie {tex} x = \frac{\pi}{2}+2k\pi{/tex} constituie asimptotele verticale ale graficului funcţiei noastre, deoarece, spre exemplu în {tex} x = \frac{\pi}{2}{/tex} avem:

{tex}\displaystyle \lim_{x \searrow {\frac{\pi}{2}}}\tan x \ = \ - \infty  {/tex}

{tex}\displaystyle \lim_{x \nearrow {\frac{\pi}{2}}}\tan x \ = \ + \infty {/tex}

Imaginea funcţiei este, de data asta, întreaga mulţime a numerelor reale, deci funcţia nu mai este mărginită, din moment ce există puncte în care ea tinde la infinit.

Tangenta este şi ea o funcţie periodică, de data asta cu perioada principală {tex}\pi{/tex}, deoarece {tex}$\tan x = \tan(x+\pi)${/tex} pentru orice x din domeniul de definiţie.

Din definiţia tangentei {tex}\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}{/tex} se poate deduce că aceasta este o funcţie impară, deoarece este raportul dintre o funcţie impară şi una pară, aşadar avem {tex}\tan (-x) = -\tan x{/tex} şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul {tex}(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) {/tex}) funcţia tangentă este strict crescătoare. Pentru {tex}x = k\pi \Rightarrow \tan x = 0{/tex}, unde k este număr întreg, deoarece în acele puncte se anulează funcţia sinus.

{tex}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \\ Unghi (radiani) & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$\\ \\ Tangenta & 0 & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & $\infty$\\ \end{tabular}{/tex}

Graficul functiei tg x
credit: analyzemath.com


Proprietăţile şi graficul funcţiei cotangentă

Nici cotangenta nu are ca domeniu de definiţie întreaga mulţime a numerelor reale, căci {tex}$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ {/tex}, aşadar trebuie să excludem valorile lui x pentru care funcţia sinus se anulează. În consecinţă, domeniul de definiţie va fi {tex}\mathbb{R} - \{k\pi\} {/tex}.

Tot din definiţie deducem că aceasta este o funcţie impară, deoarece este raportul dintre o funcţie impară şi una pară, aşadar avem {tex}$ \cot (-x) = -\cot x ${/tex} şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul {tex}(0, \pi) {/tex}) funcţia cotangentă este strict descrescătoare. Pentru {tex}x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow \cot x = 0{/tex}, unde k este număr întreg, deoarece în acele puncte se anulează funcţia cosinus.

{tex}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \\ Unghi (radiani) & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$\\ \\ Cotangenta & $\infty$ & $\sqrt{3}$ & 1 & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & 0\\ \end{tabular} {/tex}

Graficul functiei ctg x
credit: analyzemath.com