Caracteristica cea mai evidentă a sistemului nostru de numeraţie este folosirea bazei 10. Numărăm în unităţi de câte zece. Această bază a fost aleasă de multe culturi, dar şi alte baze sunt posibile şi uzitate, ca de exemplu baza 2, folosită de computere. De ce folosim baza 10?


 

+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++

Caracteristica cea mai evidentă a sistemului nostru de numeraţie este folosirea unei baze de zece. Numărăm în unităţi de câte zece. Această bază a fost aleasă de multe culturi, dar şi alte baze sunt posibile şi uzitate, ca de exemplu baza 2, cea folosită de computere. De ce folosim baza 10? Cel mai probabil pentru că avem 10 degete şi degetele sunt instrumente utile pentru efectuarea unor calcule simple, uneori suficiente pentru rezolvarea unor probleme cotidiene, cum ar fi comerţul cu mult timp în urmă.

Nu numai că alte baze sunt posibile, dar sunt cunoscute culturi care folosesc ori au folosit alte baze. De pildă, în America există un sistem de numeraţie indian ce foloseşte baza 8. Măsurăm timpul în seturi de 60, 60 de secunde pentru un minut, 60 de minute pentru o oră.

Să numărăm în baza 2...

Dar ce înseamnă să numărăm în baze diferite? Să luăm de pildă baza 2. Dacă în baza zece folosim 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 şi 9, în baza 2 vom folosi doar 2 cifre: 0 şi 1. Cum va arăta numărarea folosind doar 2 cifre? Iată:

0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
şamd.

Cum stabilim echivalenţa între baza 10 şi baza 2?

1 în baza 10 este 1 în baza 2
2 în baza 10 este 10 în baza 2
3 - 11
4 - 100
5 - 101
6 - 110
7 - 111
8 - 1000
9 - 1001
10 - 1010 şamd.

Cum facem să transformăm rapid un număr din baza 2 (ex: 111010) în baza 10? Folosim următoarea regulă:

a*2n+...+ a*27 + a*26 + a*25 + a*24 + a*23 + a*22 + a*21 + a*20 ,

unde a este 0 sau 1.


Având numărul de mai sus, 111010, şi făcând înlocuirile necesare vom obţine:

1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = 32 + 16 + 8 + 0 + 2+ 0 = 58.
Aşadar, numărul 111010 în baza doi este 58 în baza 10.

 

Pentru a transforma un număr din baza 10 în baza 2, folosim aceeaşi reţetă, dar numai că în sens invers. Să zicem că veţi să transformaţi numărul 14 din baza 10 în baza 2. După cum aţi observat, formula foloseşte cifra 2 la diferite puteri. În prima instanţă căutăm să observăm 2 la ce putere  va da un număr mai mic sau egal cu numărul nostru. Observăm că 24 este 16, deci prea mare. În schimb 23 este 8, prin urmare vom pune 1 în locul acelui a din formulă care se află lângă 23. Mai avem să completăm diferenţă de la 8 la 14, deci vom pune 1 şi în locul acelui a de lângă 22, având acoperit 12 (8 + 4) din 14. Diferenţa de la 12 la 14 o completăm punând 1 în locul acelui a de lângă 21. Pentru că deja numărul 14 este completat, vom pune 0 lângă 20.

14 = 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 8 + 4 + 2 + 0

Extrăgând cifrele (0 sau 1) cu care am înlocuit a-urile din formula noastră, vom obţine: 1110, care în fapt reprezintă numărul 14 trecut din baza 10 în baza 2.

 

 

Să numărăm în baza 8

Dacă în baza 10 folosim cifrele de la 0 la 9, în baza 8 vom folosi cifrele de la 0 la 7. Până la 7, numărarea în cele 2 baze va coincide. După 7 lucrurile se schimbă:

8 (în baza 10)  este 10 (în baza 8),
9 (10) este 11 (8),
10 (10) este 12 (8) şamd.

 

Echivalenţă între baza 10 şi baza 8
BAZA 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17
BAZA 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21

 

Să numărăm în baza 16 (sistemul hexazecimal)

Lucrurile sunt puţin diferite când este vorba despre o bază mai mare decât baza 10 cu care suntem obişnuiţi. Practic nu avem cifre suficiente pentru a le folosi în baza 16. Soluţia? Folosim litere. Aşadar, semnele folosite pentru a număra în baza 16 sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Prin urmare, dacă 12 din baza 10 va fi C, 17 din baza 10 va fi 11, 20 din baza 10 va fi 14.

 

Echivalenţă între decimal, hexazecimal şi binar
DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
HEXA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
BINAR 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111



Pentru a face exerciţii de transformare dintr-o bază în alta, vizitaţi acest site.

 

+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++