Transformata FourierÎn 1811, Joseph Fourier, prefectul de 43 de ani al districtului francez Isère, s-a înscris într-o competiţie a studiului căldurii, sponsorizată de Academia Franceză de Ştiinţe. Lucrarea predată descria o metodă analitică nouă cu care Fourier a câştigat competiţia.

 

 

 

Teoriile din secolul 19 ale unui matematician francez au ieşit la lumină pentru a deveni parte a limbajului de bază al inginerilor.

 

Astăzi numim respectiva metodă transformata Fourier. Juriul de acordare a premiului a refuzat însă publicarea lucrării, criticând motivările slabe ridicate de Fourier. Conform lui Jean-Pierre Kahane, matematician francez şi actual membru al Academiei, până la începutul anilor 1970, numele lui Fourier nu apăruse încă în renumita enciclopedie Enciclopedia Universală („Encyclopædia Universalis”).

Cu toate acestea, acum numele lui este pretutindeni. Transformata Fourier este o metodă folosită la descompunerea unui semnal în frecvenţele constituente, iar unele versiuni ale acestei metode sunt utilizate la generarea şi filtrarea transmisiilor telefoniei celulare sau Wi-Fi, la compresia fişierelor audio, video sau imagini astfel încât ele să ocupe mai puţină lăţime de bandă sau la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale. Este atât de notorie, încât „nu studiezi Transformata Fourier pentru ceea ce este”, spune Laurent Demanet, profesor asistent de Matematici Aplicate la MIT. „Urmezi un curs de procesare a semnalelor, iar transformata este în el. Nu poţi face nici o alegere.”

Transformata Fourier apare sub trei forme: obişnuita şi vechea transformată Fourier, seriile Fourier şi transformata Fourier discretă. Dintre acestea, Transformata Fourier Discretă (DFT – Discrete Fourier Transform) este cea care a ajutat la reînvierea numelui Fourier. În 1965, informaticienii James Cooley şi John Tukey au descris un algoritm denumit Transformata Fourier Rapidă (FFT – Fast Fourier Transform), prin intermediul căruia calcularea DFT-urilor cu un calculator devine mai uşoară. Dintr-odată, DFT a devenit o metodă practică de procesare a semnalelor digitale.

 

 

transformata Fourier
Însumarea a trei frecvenţe discrete poate da naştere unui semnal compus mai neregulat.
Transformata Fourier oferă o metodă de a descompune semnalele în frecvenţele lor constituente.


Pentru a înţelege mai bine cum funcţionează DFT, să considerăm un MP3 player legat la un difuzor. MP3 player-ul trimite difuzorului informaţii audio sub forma unor fluctuaţii ale voltajului unui semnal electric. Aceste fluctuaţii fac membrana difuzorului să vibreze, care, la rândul ei, face particulele din aer să se mişte, producând astfel sunete.

În timp, fluctuaţiile unui semnal audio pot fi reprezentate sub forma unui grafic: axa X este timpul, iar axa Y este voltajul semnalelor electrice sau, probabil, a vibraţiilor membranei difuzorului sau a particulelor de aer. Indiferent de combinaţia de date aleasă, semnalul va arăta ca nişte bucle aleatoare conturate sub forma unei unde. Însă în momentul audiţiei acelor bucle, se pot distinge clar toate instrumentele dintr-o orchestră simfonică interpretând note discrete în acelaşi timp.

Acest lucru se datorează faptului că acele bucle aleatoare sunt, efectiv, suma unui număr de bucle regulare, care reprezintă diferite frecvenţe ale sunetelor. Termenul „frecvenţă” reprezintă rata la care vibrează moleculele de aer, sau rata fluctuaţiilor voltajului, şi poate fi reprezentată ca rata la care o buclă are un sens ascendent sau descendent. Când se compun două frecvenţe, bucla rezultată urcă atunci când frecvenţele componente urcă, coboară când ele coboară şi are o intensitate medie când cele două frecvenţe au direcţii opuse.

DFT face din punct de vedere matematic ceea ce urechea umană face din punct de vedere fizic: descompune semnalul în frecvenţele componente. Spre deosebire de semnalele analogice ale unui reportofon, de exemplu, semnalele digitale de la un MP3 player sunt serii de numere, fiecare număr reprezentând un punct al buclei. Colectând suficiente astfel de puncte, se poate produce o reproducere rezonabilă a unui semnal continuu: de exemplu, înregistrarea audio digitală cu calitate CD colectează 44100 de eşantioane (puncte) pe secundă. Dacă se vor extrage un număr consecutiv de valori dintr-un semnal digital (8, 128 sau 1000), DFT le va reprezenta ca suma ponderată a unui număr echivalent de frecvenţe. („ponderată” înseamnă doar că anumite frecvenţe sunt mai semnificative decât celelalte în rezultatul final.)

Aplicaţiile DFT în tehnologia dispozitivelor fără fir sunt destul de directe: abilitatea de a împărţi semnalul în frecvenţele componente permite stâlpilor de telefonie celulară să descurce transmisiile de la diferiţi utilizatori, permiţând astfel mai multor persoane să poarte conversaţii.

Aplicaţiile pentru compresia datelor sunt mai puţin intuitive. Însă, dacă se extrage un bloc de 8 pe 8 pixeli dintr-o imagine, fiecare rând sau coloană este pur şi simplu o secvenţă de 8 numere, asemeni unui semnal digital cu 8 eşantioane. Astfel, întregul bloc poate fi reprezentat ca o sumă ponderată a 64 de frecvenţe. În cazul în care variaţia culorilor din bloc este redusă, ponderile majorităţii frecvenţelor vor fi zero sau vor avea o valoare apropiată de zero. Eliminarea frecvenţelor cu ponderi reduse permite blocului să fie reprezentat pe mai puţini biţi, însă cu o fidelitate scăzută.

Demanet indică faptul că DFT are multe alte aplicaţii, în domenii precum spectroscopia, imagistica cu rezonanţă magnetică, calcule cuantice. În final, el adaugă: „Este dificil de spus ce impact a avut Fourier”, deoarece transformata Fourier este deja un concept fundamental care a devenit „parte a limbajului” de specialitate.


 

Articolul reprezintă traducerea articolului Explained: The Discrete Fourier Transform, publicat pe site-ul web.mit.edu.
Traducere: Arseni Ştefan Ciprian