Liniar neliniarMulte studii ştiinţifice încearcă să găsească aproximări liniare pentru comportamente neliniare dintr-o arie largă de discipline. Distincţia dintre fenomenele liniare şi neliniare se găseşte pretutindeni în domeniul ştiinţei şi ingineriei. Ce înseamnă acest lucru?

 

 

 

Dacă veţi petrece ceva timp explorând pagina web a Laboratorului de Ştiinţa Calculatoarelor şi Inteligenţă Artificială din cadrul MIT (Massachusetts Institute of Technology), veţi găsi sute, dacă nu mii de documente cu titluri de genul „Modelarea diversităţii de aspecte neliniare formă-şi-textură” şi „Sisteme neliniare pentru desenat”, sau, din contră, titluri precum „Parsarea Packrat: Simplă, Puternică, Lentă, Liniară în timp” şi „Coduri liniar codificabile în timp şi decodificabile pe bază de liste”.

Distincţia dintre fenomenele liniare şi neliniare se găseşte pretutindeni în domeniul ştiinţei şi ingineriei. Dar ce înseamnă mai exact acest lucru?

 

Pablo Parrilo
Pablo Parrilo, profesor de inginerie în Laboratorul de Sisteme de Informaţii şi Decizie la MIT
credit imagine: Patrick Gillooly


Presupunem că, fără prea mult efort, o persoană poate arunca o minge de tenis cu aproximativ 20 de mile pe oră. În schimb, dacă vom presupune că acea persoană merge pe o bicicletă cu 10 mile pe oră şi aruncă mingea de tenis drept înainte, atunci mingea va avea o viteză de 30 mile pe oră. Liniaritatea este, în esenţă, ideea că prin combinarea a două date de intrare – precum viteza braţului şi viteza bicicletei – va rezulta suma datelor de ieşire, adică viteza mingii.

În continuare se va înlocui mingea de tenis cu un avion de hârtie. În funcţie de structura avionului, acesta va avea o traiectorie dreaptă sau va zbura cu bucle. Unele avioane de hârtie par a se comporta într-un mod cu atât mai neregulat cu cât sunt aruncate cu mai multă forţă: viteza adăugată a bicicletei ar putea face aproape imposibil de a face avionul să urmeze o traiectorie predictibilă. Acest lucru se datorează fluxului de aer, creat de aripile avionului, care are un comportament neliniar.

Dacă bicicleta ar fi avut senzori integraţi şi un calculator, acesta ar fi calculat viteza mingii de tenis într-o fracţiune de secundă. Însă nu se poate aştepta terminarea calcularea tuturor fluxurilor de aer de peste aripile avionului într-un timp acceptabil pentru a se lua o decizie utilă. „Consider că este o afirmaţie rezonabilă când spun că înţelegem, în mare parte, fenomenele liniare”, declară Pablo Parrilo, profesor de Inginerie în cadrul Laboratorului de Sisteme de Informaţii şi Decizie al MIT.



Pentru a face puţin mai precis distincţia între liniaritate şi neliniaritate, să ne amintim că o ecuaţie matematică poate fi gândită ca o funcţie (o metodă de mapare a intrărilor cu ieşiri). Ecuaţia y = x, de exemplu, este echivalentă cu o funcţie care ia ca date de intrare valorile lui x şi produce ca date de ieşire valorile lui y. Acelaşi lucru se întâmplă şi în cazul ecuaţiei y = x2.

Acest exemplu ilustrează originea termenului „liniar”: graficul ecuaţiei y = x este o linie dreaptă, în timp ce graficul ecuaţiei y = x2 este o curbă. Însă definiţia de bază a liniarităţii este mult mai cuprinzătoare în cazul ecuaţiilor complicate, cum ar fi ecuaţiile diferenţiale folosite în inginerie pentru descrierea sistemelor dinamice.

În timp ce funcţiile liniare sunt destul de uşor de a fi definite, termenul „neliniar” acoperă restul cazurilor. „Există acest citat celebru – nu sunt sigur cine l-a utilizat primul – cum că teoria sistemelor neliniare este asemeni teoriei non-elefanţilor”, spune Parrilo. „Este imposibil de construit o teorie a sistemelor neliniare, deoarece lucruri arbitrare pot satisface acea definiţie”. Deoarece ecuaţiile liniare sunt mult mai uşor de rezolvat decât cele neliniare, o bună parte a cercetării din diverse domenii este dedicată găsirii aproximărilor liniare a fenomenelor neliniare.

De exemplu, Russ Tedrake, asociat la Consorţiumul X şi profesor de Inginerie Energetică şi Ştiinţa Calculatoarelor la MIT, a adaptat munca teoretică a lui Parrilo pentru a crea noi sisteme de control al roboţilor. Mersul unui robot poate fi rezultatul unui număr de sisteme mecanice luând împreună într-o manieră neliniară. Forţele colective exercitate de acele sisteme pot fi aproape imposibil de calculat instantaneu. Însă, pe baza unui interval restrâns de condiţii de start, o ecuaţie liniară le-ar putea descrie suficient de bine pentru unele scopuri practice. Uneltele teoretice ale lui Parrilo îi permit lui Tedrake să determine cât de bine se va comporta o aproximaţie liniară dată, într-un interval cuprinzător de condiţii de start. Astfel, sistemul lui de control este compus dintr-o baterie de ecuaţii liniare de control, dintre care una va fi selectată, în funcţie de starea curentă a robotului.

 

 

Articolul reprezintă traducerea articolului Explained: Linear and nonlinear systems, publicat pe site-ul web.mit.edu.
Traducere: Arseni Ştefan Ciprian