Pornind de la un articol anterior - Introducere în inducția matematică - vom enumera în continuare câteva aplicaţii ale inducţiei matematice, cât şi modul lor de demonstrare. Astfel, veţi putea realiza felul în care metoda trebuie aplicată, cât şi genul de probleme la care se aplică.

Principiul inducției matematice
credit: http://math.njit.edu


Suport teoretic pentru principiul inducţiei matematice

Pentru a vă revizui cunoştinţele teoretice legate de inducția matematică, vă sugerăm să citiţi: Introducere în inducția matematică.

Exercițiul 1

Un exemplu simplu ar fi problema următoare:

Demonstraţi că: {tex}P(n) : 1+2+3+...+n=  \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.

Vom rezolva acestă problemă fără a apela la principiul lui Gauss.

Rezolvarea este prezentată în continuare:

Vom demonstra problema dată folosind metoda inducţiei matematice. Astfel, vom verifica cele 2 etape:

- etapa de verificare: luăm n-minim, adică {tex}n=1{/tex}.

Avem {tex}P(1) : 1= \frac{1 \cdot 2}{2}{/tex} - propoziţie adevărată. Deci etapa de verificare a fost realizată.

- etapa de demonstraţie: trebuie să demonstrăm că dacă {tex}P(n){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(n+1){/tex} este adevărată.

Avem:

{tex}1+2+3+...+n+(n+1) = (1+2+3+...+n)+(n+1)=\frac{n \cdot (n+1)}{2} + (n+1) =\frac{n \cdot (n+1) + 2 \cdot (n+1)}{2} =\frac{(n+2) \cdot (n+1)}{2}{/tex}

Astfel avem demonstrată propoziţia {tex}P(n+1){/tex}.

Deci și etapa de demonstrație a fost finalizată.

Folosind metoda inducţiei matematice am demonstrat că:  {tex}P(n) : 1+2+3+...+n=  \frac{n \cdot (n+1)}{2}{/tex} pentru orice n - număr natural nenul.

Exercițiul 2

De asemenea, mai putem da ca și exemplu problema următoare:

Să se demonstreze că pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural, avem:

{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...  + \frac{1}{2n}{/tex}.

Demonstrație:

Notăm cu {tex}P(n){/tex} egalitatea de mai sus, pentru numărul n.

Vom demonstra problema folosind metoda inducției matematice. Deci, vom verifica cele două etape:

- etapa de verificare:

Alegem n-minim, adică {tex}n=1{/tex}. Astfel, egalitatea dată devine {tex}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{/tex}. Deci {tex}P(1){/tex} este adevărată. Astfel,  etapa de verificare este demonstrată.

- etapa de demonstrație:

Demonstrăm că dacă {tex}P(k){/tex} este adevărată, atunci {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.

{tex}P(k): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + ...  + \frac{1}{2k}{/tex}

{tex}P(k+1): 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)}  = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} + ...  + \frac{1}{2(k+1)}{/tex}

Scăzând membru cu membru egalităţile de mai sus (prima egalitate dintr-a doua ), obţinem egalitatea:

{tex}\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1}{/tex}

Dar aceasta este evident adevărată.

Astfel, cum {tex}P(k){/tex} este adevărată şi propoziţia de mai sus este şi aceasta adevărată, atunci şi {tex}P(k+1){/tex} este adevărată.

Aşadar, etapa de demonstraţie a fost realizată.

Conform metodei inducţiei matematice avem:

{tex}1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...  + \frac{1}{2n}{/tex} pentru orice {tex}n \geq 1{/tex}, n - număr natural.

Exercițiul 3

Majoritatea problemelor care se rezolvă prin metoda inducţiei matematice nu ne indică formula generală ce trebuie demonstrată. În acele cazuri, trebuie sa verificăm ceea ce ni se dă pentru câteva valori particulare, iar apoi să observăm formula generală. O astfel de problemă este următoarea:

Să se calculeze suma: {tex}\frac{1}{1 \cdot 2} +  \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n \cdot (n+1)}{/tex} pentru orice n - număr natural {tex}n \geq 1{/tex}.

Demonstraţie:

Notăm suma de mai sus cu  {tex}S(n){/tex}. Ca să obţinem expresia generală, vom verifica mai întâi câteva cazuri particulare, adică {tex}n=1, n=2, n=3{/tex} şi obţinem:

{tex}S(1) = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}{/tex}

{tex}S(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} = \frac {4}{6} = \frac {2}{3}{/tex}

{tex}S(3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2} + \frac {1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}{/tex}

Observând sumele de mai sus constatăm că {tex}S(n) = \frac{n}{n+1}{/tex}.

Astfel că am ajuns la etapa în care am intuit o expresie generală, şi vom încerca să o demonstrăm prin metoda inducţiei matematice.

Lăsăm restul rezolvării problemei ca şi exerciţiu în care să aplicaţi raţionamentul inducţiei matematice.

Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.