(Timp citire: 2 minute)

Inducţia matematică reprezintă un procedeu ce poate fi folosit în cadrul rezolvării unor probleme de algebră. Prin aceasta se înţelege o metodă de raţionament care conduce de la propoziţii particulare la o oarecare propoziţie generală. Aşa cum este prezentată în majoritatea manualelor şcolare, se lasă o falsă impresie cum că aceasta ar fi folosită numai pentru demonstrarea unor formule date. Însă inducţia poate fi folosită pentru rezolvarea unor probleme cu rezultat mult mai complex, a căror soluţionare ar fi mult mai grea dacă nu am utiliza această metodă.

Principiul inducției matematice
credit: http://math.njit.edu

Principiul inducţiei matematice

Principiul pe care se bazează inducţia matematică este:

Fie {tex}P(n){/tex} o propoziţie care depinde de un număr natural {tex}n \geq m{/tex}, m fiind un număr natural fixat. Demonstraţia prin metoda inducţiei matematice a propoziţiei {tex}P(n){/tex}, constă din două etape:

1. Se verifică mai întâi că {tex}P(m){/tex} este adevărată.

2. Se presupune că {tex}P(k){/tex} este adevărată şi se demonstrează că {tex}P(k+1){/tex} este adevărată, k fiind un număr natural mai mare sau egal cu m (adică {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex} , {tex}k \geq m{/tex} ).

Dacă ambele etape ale demonstraţiei sunt verificate, atunci propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .

Intuitiv, această metodă de demonstraţie se justifică astfel:

Din {tex}P(m){/tex} adevărată şi {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru orice {tex}k \geq m{/tex}, rezultă că {tex}P(m+1){/tex} este adevărată (unde {tex}k=m{/tex} ); apoi, luând {tex}k=m+1{/tex} se obţine că {tex}$ P(m+2) ${/tex} este adevărată, şi aşa mai departe. Raţionând "din aproape în aproape" deducem că propoziţia {tex}P(n){/tex} este adevărată pentru orice număr natural {tex}n \geq m{/tex} .

Metoda inducţiei matematice ne arată că dacă {tex}P(1){/tex} este adevărată (pentru {tex}m=1{/tex}), şi din {tex}P(k) \Rightarrow P(k+1){/tex}, pentru {tex}k \geq 1{/tex}, unde k este număr natural, avem că {tex}P(k){/tex} este adevărat pentru orice k număr natural.

Câteva aplicaţii rezolvate puteţi găsi în cadrul articolului: Inducţia matematică - Aplicaţii.


Articol scris pe baza unor manuale de matematică de clasa a IX-a.