Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
300 vizualizari

O mică generalizare a problemei anterioare:

\small X=\underbrace{11...1}_\text{2n cifre}-\underbrace{aa...a}_\text{n cifre}\, ,\, n\: numar\: natural\: si\: \, a\: intreg\in \left [1,9 \right ]

Care sunt numerele n și a pentru care expresia  X este un pătrat perfect?

a intrebat Experimentat (4.6k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Cazul a=7 a fost analizat de Puiu in problema anterioara.

Se stie ca un patrat  nu se poate termina in 2,3,7 sau 8 astfel se elimina cazurile a=3,8 4 sau 9.Mai raman cazurile de studiat a=1,2,5 si 6

Relatia data se poate scrie :\frac{10^{2n}-1}{9}-a\frac{10^n-1}{9}=\frac{10^{2n}-a10^n+a-1}{9}

Pentru a=2 se remarca ca expresia este patrat perfect pentru orice n.

Sa remarcam si faptul ca expresia data e patrat perfect daca numaratorul e patrat perfect.

Pentru a=1 numaratorul se scrie  10^n(10^n-1) care este produs de numere consecutive si se stie (cultura!!!) ca produsul a doua numere consecutive nu e patrat perfect.Se arata usor cu n(n+1) ca este intre patratul lui n si n+1..

Pentru a=5 se arata ca numaratorul este situat intre patratele lui 

10^n-3 si  10^n-2 deci nu poate fi patrat perfect.

La fel si cazul a=6 numaratorul e incadrat de patratele lui 

10^n-4 si 10^n-3..

Si cred ca am epuizat toate cazurile .Deci raspunsul este pentru a=2 si orice n,iar a=7 doar n=1 convine.

a raspuns Experimentat (2.3k puncte)
selectat de

...