Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.1k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
626 vizualizari

O problemă dată la o competiție matematică pentru fete: să se determine perechile de numere naturale (x,y) care sunt soluții ale ecuației xy = yx-y.

a intrebat Experimentat (4.7k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri

După examinarea preliminară constatăm următoarele:

  1. perechile (0,0), (x,0) ori (0,y) nu sunt soluții;
  2. x|y sau y|x;
  3. puterea din dreapta este naturală (ca membrul stâng) dacă x-y>=0, adică x>=y.

Cazului x=y îi corespunde singura soluție (1,1).

Dacă x>y, ținând cont de 2., rezultă y|x, deci putem scrie x=ty (t din N*). Puterea din membrul stâng având acum baza mai mare decât a celei din dreapta, rezultă că exponentul ei trebuie să fie mai mic decât al aceleia (pentru a fi posibilă egalitatea), adică y<x-y sau x>2y. Avem deci că x=ty, cu y cel puțin egal cu 2 și t>2 și egalitatea din ipoteză devine:

(ty)y=yty-y <=> (ty)y=(yt-1)y de unde ty=yt-1 <=> t=yt-2. Aici, în stânga avem funcția liniară f(t)=t, iar în dreapta o familie de funcții exponențiale gy(t)=yt-2. În numere naturale, singurele posibilități sunt t=3 și y=3, precum și t=4 și y=2, conducând la soluțiile (9,3) și (8,2).

a raspuns Junior (966 puncte)
editat de
0 0

Aproape perfect pana la final unde te ai balbait putin cu functiile alea:D

.Mai corect era prin inductie de demonstrat ca pentru y>3  atunci y^{n-2}>n pentru n>2,n natural.Altfel se poate folosi Bernoulli

Ea afirma (1+x)^n\geq 1+nx oricare n natural si x>-1.

in cazul nostru am avea y^{n-2}\geq 1+(n-2)(y-1)

Si daca n>3 si y>3 atunci (n-2)(y-2)>1 

de unde 1+(n-2)(y-1)>n

Astfel nu raman decat cazurile de studiat n=2 sau 3 care dau solutiile respective.O alta remarca este faptul ca nu poate fi x divide y sau y divide x.Afirmatia cu x divide y sau invers e valabila in contextul in care x si y sunt prime,cel mult putem spune ca au aceeasi factori primi in descompunerea lor.Ramane de studiat si cazul cand y nu divide x.

0 0
Foarte bună observația lui zec. Neașteptată și binevenită folosirea inegalității lui Bernoulli, că altfel uitam că mai există. Totuși, Bzn Radu are dreptate: y divide x (întotdeauna).
0 0

Mulțumesc pentru observațiile juste. Așa e, am cam lăsat în seama cititorului demonstrația faptului că t=yt-2 are doar două soluții (în N). Mă gândisem la inducție și am omis să sugerez că așa s-ar demonstra... Am avut în vedere și forma y=t1/(t-2), dar nu pare tocmai simplu de arătat că expresia în t, din dreapta, e descrescătoare (m-am văzut nevoit să mă documentez cum s-ar deriva fg). La mulți ani! 

0 0
La multi ani!!! intradevar y trebuie sa divida x.
1 plus 0 minusuri

a) Ecuația are un număr infinit de soluții de tipil x=y, acesta fiind cazul trivial.

b)Pentru cazul x diferit de y. Logaritmăm în baza e și obținem ecuația echivalentă: ln(x)/x = ln(y)/y. Considerăm x<y. 

Analizăm funcția f(t) = ln(t)/t. Avem f'(t) = (1 - ln(t))/t2. Observăm că  f(t) are un punct de maxim în t = e, unde f' = 0, și că pentru t< e ea e strict crescătoare, iar pentru t > e este strict descrescătoare (f' pozitivă pe primul interval și negativă pe al doilea).

Revenind la ecuația cu logaritmi, dacă ea are soluții naturale, acestea trebuie să se situeze de o parte și de cealaltă a lui e, din motivele arătate la analiza lui f(t), Prin urmare, x< e și y> e.

x = 1 ne conduce la cazul trivial, deci x = 2. Primul membru devine 

ln(2)/2. Dar ln(2)/2 = 2ln(2)/4 = ln(4)/4, adică y = 4, ceea ce ne arată că 

x = 2 și y = 4 sunt soluții. Pentru y> 4 nu mai există soluții în mod evident, funcția fiind, cum am arătat, strict descrescătoare pe intervalul (e, +infinit). 

Din simetria ecuației rezultă deci soluțiile unice x = 2, y = 4 sau x = 4 și y = 2.

Și pentru că suntem la început de an, vă urez un 2018 cu sănătate și veselie.

a raspuns Senior (6.6k puncte)
editat de
0 0
nu e tocmai corect ,dupa logaitmare ar trebui sa ai alta relatie.
0 0

La fel vă dorim și noi. Veselia a apărut deja cănd ați citit, se pare, alt enunț (xy=yx). Din nou...hahaha.

0 0

Da, am citit enunțul pe telefon și mi-am mărit textul atât de mult încât partea cu -y de la exponent mi-a ieșit din ecran.

Vă înțeleg, și eu apreciez umorul involuntar, numai că veselia mea e moderată, dacă nu chiar un pic amară. Și, ca să păstrez nota de Plugușor, constat că semne bune anul n-are.

Mă amuz, totuși, gândindu-mă la cât de contrariat am fost de răspunsul lui  Bzn Radu!

...