Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
226 vizualizari

Aratati ca

 log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2)    oricare  n natural, n>1.

De principiu accept orice demonstratie, dar as prefera una de nivelul clasei a 10-a.Personal am rezolvat problema la nivelul clasei a 10-a dar nu chiar integral  la nivelul clasei a 10-a.

a intrebat Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica
0 0
Ma bucur foarte mult pentru ambele solutii,dar in special solutia lui Liviu care pare asa de naturala si simpla .Si solutia data de Gheorghita e frumoasa..

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Cunoscand ca

loga b * logb x = loga x ,
pentru b > a > 1 , (deoarece funcria logaritmica e strict crescatoare pentru baze > 1), vom avea
 loga x = loga b * logb x > loga a * logb x = logb x
Daca luam  a = n, b = n + 1 si  x = 1 + 1 / n  vom avea
logn (1 + 1 / n) > logn+1 (1 + 1 / n) > logn+1 [1 + 1 / (n+1)]

logn n + logn (1 + 1 / n) > logn+1  (n+1) + logn+1 [1 + 1 / (n+1)]
 logn [n*(1 + 1 / n)] > logn+1 [(n+1)*(1 + 1 / (n+1)]
 logn (n + 1) > logn + 1 (n + 2)

a raspuns Novice (336 puncte)
selectat de
3 plusuri 0 minusuri

O altă soluție ar fi: trecem logarimii în aceeași bază folosind faptul învățat la școală: \small log_{a}b\cdot log_{b}a=1 (caz particular pentru scrierea logaritmului în altă bază:   \small log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}, în cazul nostru: \small log_{n}(n+1)=\frac{1}{log_{n+1}n}Trebuie să arătăm :\small log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< 1{\color{DarkBlue} }. Folosim inegalitatea mediilor \small a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab

\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)\leq (log_{n+1}n+log_{n+1}(n+2))^{2}=(log_{n+1}n(n+2))^{2}

Am folosit proprietatea: loga+logb=log(ab).Deci:\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)\leq (log_{n+1}(n^{2}+2n))^{2}< (log_{n+1}(n^{2}+2n+1))^{2}\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< (log_{n+1}(n+1)^{2})^{2}=4(log_{n+1}(n+1))^{2}

Altă proprietate: logabm  = mlogab.\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< 4\Rightarrow log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)<1.

a raspuns Experimentat (4.7k puncte)

...