Demonstram prin inductie ca o multime de n numere consecutive unde n estemultiplu de 3 mai mare sau egal cu 6 se poate partitiona in 3 multimi cu numar egal de elemente si cu suma lor egala.
Pentru numerele de la 1 pana la 6 le partitionam in {1,6},{2,5} si {3,4}
Pentru numerele de la 1 la 9 partitionam astfel {1,5,9},{2,6,7} si {3,4,8}
inductia iese imediat presupunem ca are loc pentru un k multiplu de 3 si mai mare ca 6 si aratam ca are loc si pentru o multime k+6.cum in ipoteza de inductie multimea de k elemente se poate imparti in 3 multimi sa zicem A,B,C atunci AU{k+1,k+6} ,BU{k+2,k+5} si CU{k+3,k+4} imparte multimea de k+6 elemente avand suma S+2k+7 unde S este suma elementelor lui A,Bsau C.Cum am verificat pentru 6 si 9 rezulta ca propietatea are loc pentru orice n multiplu de 3 si mai mare sau egal cu 6.
demonstratia inductiei ne arata si cum putem repartiza ,cum 555 este impar atunci el este indus de partitia multimi cu 9 elemente .
astfel avem A={1,5,9,10,15,16,21,22,27....,550,555}
B={2,6,7,11,14,17,20,23,26,....,551,554}
C={3,4,8,12,13,18,19,24,25,.....,552,553}
De remercat progresiile cu ratia 6 10,16,... si 15,21......(in multimea A)
la fel si in multimea B si C.