Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,284 intrebari

6,455 raspunsuri

15,020 comentarii

2,052 utilizatori

Aria unui poligon construit pe o rețea de puncte

1 plus 0 minusuri
234 vizualizari

Am descoperit astăzi o teoremă interesantă. Nu o să-i dau și numele, din motive lesne de înțeles. Sper ca zec să nu o știe, iar dacă da, să ne ofere o demonstrație fără să dea numele teoremei :)


Ideea este următoarea:


Se dă o rețea de puncte egal depărtate unele de altele, atât pe verticală, cât și pe orizontală. Ca în cazul unui caiet de matematică. Să convenim că distanța între puncte este egală cu unitatea.


Teorema ne spune că aria unui poligon cu vârfurile pe această rețea de puncte este dată de formula A = I + G/2 -1, unde I este numărul de puncte aflate în interiorul poligonului, iar G este numărul de puncte aflate pe laturile poligonului.


Iată și două exemple grafice. In primul I = 12, G = 14, A = 18

Poligon 1


Aici, în al doilea exemplu: I = 7, G = 8, A = 10
 

Poligon 2


 

Cum demonstrați teorema?

a intrebat goguv Senior (6,054 puncte) Apr 11 in categoria Matematica
In fapt o cunosc si mai devreme am aflat si cum se numeste  aceasta teorema .Totusi as vrea sa specific o teorema cu o valoare foarte mare avand aplicatii in teoria numerelor si anume teorema lui Minkovski care suna cam asa orice multime convexa de arie mai mare ca 4 si simetrica de origine are cel putin un nod diferit de origine in interior.Putem considera ca multime convexa un poligon convex ,teorema admite si generalizare.Printre aplicatii se rezolva probleme de reprezentare a numerelor prime in sume patratice ,de exemplu orice numar prim de forma 4k+1 se poate scrie ca suma de 2 patrate.
Goguv, din cîte poligoane se pot desena, tocmai pe cele două din articolul de la Wikipedia în engleză le-ați nimerit. Ce coincidență!  :-)
Nu vi se pare ca ale mele arata mai bine? :)
Am muncit un pic la ele, sa stiti.

Anyway, ar fi trebuit mentionat articolul wikipedia drept sursa de inspiratie. Dar asta insemna si dezvaluirea uneia dintre rezolvarile posibile.

Asa ca mai astept un pic :)

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Ideea e prin inductie ,pentru inceput sa aratam ca relatia e adevarata pentru triunghi,dar voi arata intai ca e adevarata pentru un paralelogram.

Sa remarcam totusi ca relatia e adevarata pentru un dreptunghi cu laturile paralele cu axele.LA fel se remarca si pentru un triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele fiind in fapt jumatatea unui dreptunghi ,nu e foarte greu avem in principiu 2 situatii ,prima in care diagonala imparte punctele interioare in doua sau in care o parte din punctele interioare devin puncte pe latura.

 Sa presupunem ca pe diagonala se afla k puncte din cele interioare dreptunghiului astfel punctele interioare din triunghi devin (i-k)/2 in timp ce punctele  de pe laturi creste cu k astfel avem g/2+k si se remarca ca noile valori verifica formula si reprezinta jumate din aria dreptunghi.

 In figura avem un paralelogram care arie se deduce ca fiind aria unui dreptunghi din care se scad 4 triunghiuri drepte si la care cunoastem ca se aplica formula.Si daca numaram punctele interioare si cele de pe laturi de pe dreptunghi si triunghiri prin aceasta operatie obtinem si verificam aria paralelogramului.Asemanator cu triunghiul ca jumatate de dreptunhi ,deducem astfel ca formula e adevarata pentru un triunghi oarecare care este o jumatate de paralelogram.

    Acum demonstratia fie un poligon Q cu n varfuri n>3 .Acest poligon sa poate forma din un poligon P si un triunghi T unind trei varfuri consecutive necoliniare. Presupunem prin inductie ca aria e verificata pentru poligoane cu un numar de varfuri mai mici decat n si vom arata ca e valabila formula si pentru n.Deci aria lui P si T verifica formula o sa notam cu I_p ,G_p si I_t,G_t punctele interioare si de pe laturi ale triunghiului .Fie k numarul de puncte de pe latura comuna dintre P si T dar fara varfurile comune .

numarul I de puncte interioare a lui Q este 

I_Q=I_P+I_T+k 

iar cele de laturile lui Q sunt G_Q=G_P+G_T-2k-2  se scade de 2 ori deoarece acele k puncte nu vor mai fi pe latura si mai scadem 2 deoarece numaram de 2 ori cele 2 varfuri comune.

Aria lui Q este aria lui P plus aria ui T adica:A_Q=A_P+A_T=I_P+G_P/2-1+I_T+G_T/2-1=I_P+I_T+(G_P+G_T)/2-2(1)

Acuma mai aramane sa vedem ca reprezinta exact formula pentru Q

A_Q=I_Q+G_Q/2-1=I_P+I_T+k+(G_P+G_T-2k-2)/2-1 (2)

Se vede imediat egalitatea (1)=(2) si cu asta am demonstrat inductia aratand ca relatia e adevarata si pentru n varfuri.

a raspuns zec Experimentat (1,961 puncte) Apr 13
selectat de goguv Apr 14

Acum, că avem și o demonstrație, cred că pot scrie că teorema a fost formulată în 1899 de Georg Alexander Pick și îi și poartă numele: teorema lui Pick.

Cu ocazia asta acord credit și paginii Wikipedia pentru faptul că am desenat tocmai poligoanele care apar și acolo.

Ca observații suplimentare, din această teoremă rezultă foarte simplu că pe o asemenea rețea de puncte nu-și poate găsi vârfurile un triunghi echilateral, deoarece formula ariei acestuia este obținută ca rezultat al înmulțirii unui număr întreg cu \sqrt{3}/4 . 

0 plusuri 0 minusuri
O demonstrație deosebită este aici:

http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick_proof.shtml
a raspuns goguv Senior (6,054 puncte) Apr 14

O analiză foarte bună e și aici .

...