f(x)=0 daca x e irational
q unde x=p/q rational sub forma simplificata.
In orice interval exista numere rationale cu numitor oricat de mare.
Se poate extinde daca se vrea sa fie nemarginita si catre -inf alegand de exemplu pentru p/q cu q par f(p/q) =q si cu q impar sa fie -q.
Edit.Sa demonstram un pic afirmatia.
Fie un interval deschis (a;b) ,daca e inchis se rezolva la fel.
Fara demonstratie daca a si b sunt irationale e cunoscut faptul ca se afla un numar rational intre a si b.Daca a si b sunt rationale atunci putem considera un numar intreg pozitiv M astfel incat a<a+1/M<b .Gasim M >1/(b-a).
Daca a si b sunt irationale (de fapt doar a irational)atunci exista un numar rational c intre a si b si alegem numarul de forma c+1/M unde M>1/(b-c).
Cum alegerea lui M are o infinitate de posibilitati si in adunarea p/q+1/M daca alegem M prim cu q atunci numarul rational obtinut in adunare va fi fractie ireductibila cu numitor qM ,adica oricat de mare.