Richard FeynmanPartea a treia a articolului dedicat analizei ciudăţeniei mecanicii cuantice ori - poate - a lumii în care trăim, prezintă o ilustrare a modului în care funcţionează principiul acţiunii minime, folosind ca dispozitiv pentru a măsura acţiunea corespunzătoare drumurilor posibile către fiecare destinaţie o simplă roată.

 


Cât de ciudată este mecanica cuantică? (2)


ABORDAREA BAZATĂ PE MECANICA CUANTICĂ

Să presupunem că luăm în serios întrebarea anterioară legată de principiului acţiunii minime şi formulăm un răspuns mai degrabă simplu pentru aceasta: Natura trebuie să verifice toate destinaţiile posibile pentru a vedea dacă acestea îndeplinesc regulile dorite. Iar acest lucru este pus în practică prin încercarea găsirii unei căi de minimă acţiune către fiecare destinaţie. Pentru aceasta se foloseşte un dispozitiv capabil de a măsura cantitatea numită acţiune corespunzătoare tuturor drumurilor posibile către fiecare destinaţie.

Dispozitivul este unul simplu – o roată pentru măsurat acţiunea asemenea roţilor pentru măsurat distanţele folosite de topografi – mai simplu spus, o roată cu un semn pe jantă (figura 4). Nu este tocmai o roată cu care să poţi măsura acţiunea, dar să ne imaginăm că ar fi. Pentru fiecare dintre posibilele destinaţii, mecanismul folosit asociază o probabilitate uneia dintre acestea doar dacă, folosind această unealtă simplă, descoperă un drum  caracterizat de o valoare minimă a acţiunii corespunzător respectivei destinaţii.

Când acţiunile care trebuie măsurate sunt mari în comparaţie cu dimensiunea roţii, sistemul funcţionează ca de obicei în cazul fizicii clasice. Dar în anumite situaţii mecanismul eşuează în încercarea de a oferi răspunsuri  clasice, trimiţându-ne în zona mecanicii cuantice. Vom da circumferinţei roţii valoarea constantei lui Planck, numită astfel după Max Planck, cel care a descoperit în mod indirect în 1900 importanţa acestei constante fundamentale a naturii.

Poate vă întrebaţi cum este posibil ca o roată să ne spună tocmai ce ne dorim să ştim, dar nu vom intra în aceste detalii acum. Cei interesaţi de aceste detalii pot consulta cartea lui Richard Feynman: "Electrodinamica cuantică - Strania teorie a luminii şi materiei ori pot citi un scurt sumar al ideilor lui Feynman în ultimul paragraf al acestui articol, intitulat "Cartografierea viitorului folosind roata topografică".

 

Roata topografica de masurat distante
Figura 4 - o roată topografică pentru măsurat acţiunea

 

DIFERENŢE FAŢĂ DE FIZICA CLASICĂ


Aşa cum ne-am aştepta, un mecanism care funcţionează pe principiile mecanicii clasice introduce o diferenţă doar când acesta nu-şi poate îndeplini corect sarcinile pentru care este folosit. De pildă, dacă vrem să verificăm destinaţiile care sunt prea apropiate de punctul de start, judecate prin prisma dimensiunilor dispozitivului ales de noi, atunci instrumentul imaginat devine inutil. Mecanismul ales nu ne poate spune încotro trebuie să o apuce obiectul şi în acest caz se manifestă un caracter incert asociat situaţiei, la o scară stabilită de cantitatea de acţiune egală în acest caz particular cu h, constanta lui Planck. Este o formulare alternativă a principiului incertitudinii.

O a doua problemă apare din cauza formei circulare a dispozitivului de măsurat folosit. Acesta nu poate face diferenţa între căile ale căror acţiuni asociate diferă unele de altele printr-un număr întreg de „constante ale lui Planck”. Acest lucru conduce la apariţia unui model probabilistic asemănător celui care se manifestă în cazul undelor clasice, deoarece matematica undelor este foarte apropiată de matematica mişcării circulare.

Cea mai importantă schimbare apare când luăm în considerare obiecte care se deplasează pe orbite de foarte mici dimensiuni, aşa cum este cazul electronilor în jurul nucleului. Mecanismul calculează o probabilitate egală cu zero mai puţin atunci când orbita (ori mai bine zis starea) are asociată o acţiune care este un multiplu al constantei lui Planck. Acest mecanism primitiv explică de ce atomii se pot micşora doar până la un anumit punct, până la o anumită stare căreia îi corespunde o mărime a acţiunii egală cu constanta lui Planck, stare în care devin stabili.

Folosind o idee suplimentară, pe care o vom menţiona puţin mai târziu, mecanismul folosit de noi pare a explica modul de funcţionare al proceselor chimice, biologice, cât şi alte rezultate importante ale mecanicii cuantice, fără a înceta vreo secundă să funcţioneze pe principiile mecanicii clasice.

 

CARTOGRAFIEREA VIITORULUI FOLOSIND O ROATĂ TOPOGRAFICĂ


Pentru a înţelege cum funcţionează mecanica cuantică cel mai simplu este să descriem o situaţie similară. În loc să determinăm dacă există o traiectorie către o posibilă destinaţie caracterizată de o valoare minimă a “acţiunii”, şi asta folosind o roată topografică pentru a măsura caracteristica drumului pe care am numit-o acţiune, putem să determinăm folosind respectivul instrument dacă există o cale către o posibilă destinaţie care să fie caracterizată de faptul că distanţa între pornire şi finiş este minimă. Din motive care vor deveni clare imediat vom presupune că roata are o singură spiţă care uneşte butucul de jantă, ca în diagrama din figura 4. Pentru a folosi exemplul simplu al unui teren perfect neted (în mod similar exemplelor cu mingea de golf din imaginile 1 la 3), vom începe dintr-un anumit punct şi vom alege o direcţie de deplasare, având ca scop determinarea unui alt punct al planului terenului care să fie conectat de punctul de start printr-o traiectorie caracterizată de o distanţă minimă. Este evident faptul că distanţa este minimă pentru punctele aflate pe linia care descrie direcţia de deplasare aleasă la început, dar să pretindem că nu am şti acest lucru, pentru a-l putea deduce cu ajutorul mecanismului ales – roata de măsurat distanţe a topografului.

Cum vom realiza acest lucru? Vom presupune că pentru fiecare destinaţie posibilă, un număr mare de roţi topografice se vor deplasa de-a lungul fiecărei traiectorii imaginabile, cu spiţa orientată pe verticală către în sus la plecare. Fiecare dintre roţi va ajunge la destinaţie cu o orientare a spiţei dictată de lungimea drumului parcurs, dar fără vreo informaţie privind traiectoria străbătută.

Am putea cumva să determinăm doar folosindu-ne de poziţiile finale ale spiţelor dacă destinaţia este conectată de punctul de  start printr-o traiectorie de lungime minimă? Într-adevăr, este posibil acest lucru. Să presupunem că toate traiectoriile posibile au fost parcurse sistematic, cu mici variaţii de la o traiectorie la următoarea. Nu este nevoie să testăm traiectoriile sistematic în ordinea impusă de un asemenea algoritm, dar dacă toate drumurile ar fi fost parcurse într-o ordine aleatorie, nu am putea pretinde că le-am rearanjat sistematic.  Pe măsură ce modificăm traiectoria de parcurs puţin câte puţin, poziţia finală a spiţei, adică unghiul pe care îl face cu verticala, se va schimba şi acesta în mod lin, rotindu-se din ce în ce mai mult. Va continua să se modifice puţin câte puţin pe măsură ce modificăm traiectoria aleasă în toate cazurile cu excepţia unuia – dacă seria de traiectorii trece printr-un drum minim, caz în care o mare parte a traiectoriilor vor fi caracterizate de (aproximativ - n.n.) aceeaşi poziţie a spiţei.

Cum putem spune dacă impresionanta noastră colecţie de poziţii ale spiţei conţine un mănunchi care să indice, cu aproximaţie, în aceeaşi direcţie ? Putem face asta prin simpla alăturare a spiţelor una la capătul celeilalte. Dacă nu există o traiectorie de lungime minimă până la destinaţie, spiţele tind să fie dispuse în toate direcţiile în mod egal – rezultând un aranjament al acestora în spirală, iar capătul “lanţului de spiţe” astfel format este foarte aproape de punctul de start, ca în figura 6. Dacă însă există un drum de lungime minimă spiţele corespunzătoare tuturor traiectoriilor apropiate de cea de lungime minimă de vor alinia, în timp ce toate celelalte se vor anula ca mai înainte, astfel încât capătul “lanţului de spiţe” să fie mult mai departe de punctul de start, ca în figura 7.  Nu trebuie să ştim ce anume traiectorie a avut ca rezultat o anumită poziţie a spiţei. Simpla alăturare a spiţelor una la capătul celeilalte este suficientă pentru a afla ceea ce ne dorim să ştim – şi anume dacă există un drum de lungime minimă către destinaţie.

 

Figura 6
Figura 6: un “lanţ de spiţe” asociate tuturor drumurilor între start şi finiş atunci când nu există o traiectorie de lungime minimă între acestea.

 





Figura 7
Figura 7: un “lanţ de spiţe” asociate tuturor drumurilor între start şi finiş atunci când există o traiectorie de lungime minimă între acestea.


Toate acestea nu ne oferă o regulă fixă de a afla dacă există un drum de lungime minimă între două locuri, dar este cel mai bun lucru pe care îl putem face. Ce putem spune este că probabilitatea existenţei unei traiectorii de lungime minimă depinde de distanţa dintre capetele “lanţului de spiţe” obţinut – cu cât distanţa este mai mare, cu atât creşte această probabilitate. (Probabilitatea relativă este de fapt dată de pătratul acestei distanţe.)  În contextul figurii 3, punctele negre sunt foarte întunecate, iar cele albe foarte luminate, dar sunt cu toate doar nuanţe de gri. În paranteză fie spus, diagramele au fost desenate cu spiţele corespunzătoare traiectoriilor vecine plasate una lângă alta, astfel încât par să se deplaseze lin şi circular într-o spirală, dar acest lucru nu este neapărat necesar. În orice ordine am alătura spiţele una la capătul alteia, cele două capete ale lanţului care rezultă vor fi mereu la aceeaşi distanţă unul de altul.

Este drept, am descris o modalitate stângace, dacă nu chiar ridicolă de a determina dacă există un drum de lungime minimă între start şi finiş. Dar măcar vorbim de o metodă care foloseşte cel mai simplu instrument de măsură, nu presupune existenţa unei idei preconcepute despre rezultatul final şi, în versiunea care se referă la acţiune, pare să corespundă observaţiilor despre cum funcţionează lucrurile în realitate.

 

Cât de ciudată este mecanica cuantică? (4)

 

 

 

skeptical inquirer august 2006Textul de mai sus reprezintă traducerea articolului Why quantum mechanics is not so weird after all de Paul Quincey, traducere realizată cu acordul revistei Skeptical Inquirer.