După Newton, Universul este înţeles în termeni de cauză şi efect. Potrivit mecanicii lagrangiene, natura are ca scop intrinsec minimizarea cantităţii pe care am numit-o în acest articol „acţiune”. Astfel, un obiect s-ar putea deplasa pe mai multe traiectorii, numai că cea aleasă este cea pentru care „acţiunea” rezultată este minimă.

 

Puteţi citi explicaţiile referitoare la principiul acţiunii minime ori
puteţi urmări direct filmul de mai jos.

CE ESTE PRINCIPIUL ACŢIUNII MINIME?

Principiul acţiunii minime este numele generic dat unei legi aparţinând mecanicii lagrangiene (o reformulare a mecanicii clasice introdusă în 1788 de către matematicianul italian Joseph-Louis Lagrange (
1736-1813), născut Giuseppe Lodovico Lagrangia), lege care aplicată corpurilor aflate în mişcare în câmp gravitaţional conduce la aceleaşi rezultate ca şi mecanica newtoniană.

În centrul acestui principiu se află 2 elemente: pe de o parte, avem ceea ce se numeşte “lagrangean” - diferenţa dintre energia cinetică şi energia potenţială a unui corp, iar pe de alta, o cantitate numită impropriu “acţiune”, care este dată de integrala lagrangeanului pe o traiectorie posibilă a corpului, între 2 momente fixe de timp, t1 şi t2 (această integrală a lagrangeanului este practic suma valorilor lagrangeanului pentru toate punctele care aparţin traiectoriei).

Spre exemplificare şi lămurire, să considerăm că avem o bilă în mişcare în câmp gravitaţional, care se deplasează între două puncte. De pildă, o bilă aruncată în sus va urma o traiectorie ca cea de mai jos, pe care o va parcurge într-un anumit interval de timp.

 

TRAIECTORIE REALA

Putem imagina o infinitate de alte traiectorii, toate diferite de cea reală, pe care bila le poate parcurge între punctul de plecare şi punctul final în acelaşi interval de timp. O variantă este cea de mai jos:

 

Traiectorie virtuala

 

Dacă se calculează energia cinetică a bilei la fiecare moment pe traiectoria urmată de aceasta, se scade din ea energia potenţială şi se integrează această diferenţă (deci lagrangeanul) pe domeniul de timp dat de poziţiile iniţială şi finală ale bilei, deci pe întreaga traiectorie imaginată, oricare ar fi aceasta (de reţinut că este diferită de cea reală), se constată că numărul obţinut este întotdeauna mai mare decât integrala lagrangeanului corespunzătoare traiectoriei reale.

Altfel spus, decât să folosim legile lui Newton, care au la bază formula F=m*a, pentru a determina traiectoria unui obiect în mişcare, ne putem folosi de principiul acţiunii minime, care afirmă că traiectoria reală a unui obiect între două puncte fixe în spaţiu şi timp este cea pentru care acţiunea este minimă. Atenţie!, vitezele corpului pot fi diferite în cele două capete ale traiectoriei pentru traiectorii diferite !

PUŢINĂ MATEMATICĂ ...

Să considerăm cazul mişcării unei particule în câmp gravitaţional, de-a lungul unei singure axe, “x”. Poziţia la momentul de timp t a particulei va fi x(t). Energia cinetică la un moment de timp t va fi m/2(dx/dt)2, iar energia potenţială la orice moment de timp t va fi mgx.

Calculând diferenţa dintre cele două energii şi integrând de-a lungul întregii traiectorii, între momentele de timp iniţial şi final, t1, respectiv t2, "acţiunea" corespunzătoare unei anume traiectorii va fi exprimată de următoarea formulă matematică:

 

formula_actiune_lagrangean

 


Mişcarea reală este pe o parabolă (dacă reprezentăm evoluţia lui x în funcţie de timp), iar calculul integralei de mai sus pentru această traiectorie va oferi o anumită valoare numerică.

 

traiectorie_reala

 

 

Putem imagina însă o infinitate de alte traiectorii virtuale între cele două puncte, care să fie parcurse între cele două momente de timp, t1 şi t2.


Traiectorie_virtuala

 

 

Ceea ce este miraculos şi în acelaşi timp esenţa principiului acţiunii minime este faptul că traiectoria reală, parabola de care tocmai am vorbit, este cea pentru care valoarea acestei integrale este minimă, dintre toate valorile calculate pentru orice altă traiectorie virtuală imaginată de noi. Extraordinar, nu?

Pentru a determina valoarea minimă a unei asemenea funcţii (practic pentru a determina drumul pentru care integrala lagrangeanului – “acţiunea” – are valoare minimă, deci pentru a determina traiectoria reală a unui obiect) sunt necesare cunoştinţe matematice foarte avansate - aşa-numitele elemente de calcul variaţional (calculul variaţional se ocupă cu studiul extremelor pentru clase speciale de funcţii). Presupunând că am stăpâni şi am putea folosi asemenea tehnici matematice avansate, am observa că traiectoria unui obiect în câmp gravitaţional determinată prin această metodă este aceeaşi cu cea rezultată folosind principiile mecanicii newtoniene, care au ca piloni centrali ecuaţiile de mişcare ale lui Newton.


PRINCIPIUL ACŢIUNII MINIME - O PREZENTARE VIDEO


O INTERPRETARE FILOZOFICĂ...

Dacă din punct de vedere matematic, deci al rezultatelor oferite, cele două mecanici, newtoniană, respectiv lagrangiană, sunt echivalente, nu acelaşi lucru se poate afirma dacă analizăm problematica, aşa cum deseori se întâmplă, din punct de vedere filozofic. Implicaţiile filozofice sunt profunde şi au avut o importantă influenţă în dezvoltarea teoriilor moderne din mecanică.

Conform mecanicii newtoniene, Universul este văzut în termeni de cauză şi efect. Dacă dai un impuls unui obiect, atunci acesta se va mişca. Potrivit mecanicii lagrangiene, legile fizicii sunt cele care sunt pentru că natura are ca scop intrinsec minimizarea cantităţii pe care am numit-o în acest articol „acţiune”. Un obiect s-ar putea deplasa pe mai multe traiectorii, numai că cea "aleasă" este cea pentru care „acţiunea” rezultată este minimă. Ce ar putea însemna aceasta din punct de vedere filozofic? Că Universul e guvernat de cauzalitate ori că există un scop final de atins? Poate amândouă, poate niciunul dintre cele două răspunsuri posibile nu este valabil...

CONCLUZIE

Principiul acţiunii minime este o descriere a naturii mişcării în câmp gravitaţional care oferă o abordare alternativă a cinematicii (ramura mecanicii care se ocupă de studiul mişcării corpurilor), complet independentă de legile de mişcare ale lui Newton.

Principiul acţiunii minime oferă nu doar o formulare a mecanicii clasice mai flexibilă şi mai puternică decât cea newtoniană, dar, în plus, variaţii ale acestuia s-au dovedit utile în teoria relativităţii generalizate, electrodinamica cuantică, cât şi în fizica particulelor. Ca urmare, principiul este în centrul multora dintre teoriile fizicii moderne şi contemporane.

 



Bibliografie:
Richard Feynman - The Feynman Lectures on Physics – vol.2 cap. 19
www.cassiopeiaproject.com
www.stiinta.info/uploads/lectia-de-fizica/2-mecanica.pdf
everything2.com/title/principle%2520of%2520least%2520action
skepticsplay.blogspot.com/2008/04/cosmic-purpose-and-lagrangian.html
www.eftaylor.com/leastaction.html