De la certitudine la incertitudineÎncercările anterioare de a demonstra coerenţa sau completitudinea matematicii foloseau logica simbolică pentru enunţarea afirmaţiilor despre teoreme şi demonstraţii matematice. Statutul matematicii era deci examinat şi certificat din exteriorul ei.

 

 


Cu alte cuvinte, statutul matematicii era examinat şi certificat de un sistem situat în afara sa, de metamatematică.

Post-scriptum (74)

Contribuţia lui Gödel a constat în crearea unui sistem matematic care să poată face afirmaţii despre el însuşi. Sistemul care vorbeşte despre matematică trebuia să fie o parte a matematicii, nu ceva din afara matematicii despre care discută.

Dar cum poţi face un sistem simbolic să se refere la sine? Şi cum poate fi încorporată metamatematica în matematică?

Răspunsul lui Gödel a fost extrem de ingenios. În prima etapă, el a atribuit fiecărei afirmaţii din metamatematică un număr unic. Dar, întrucât numerele sunt întotdeauna parte a matematicii, rezultă că afirmaţiile din metamatematică cu privire la teoreme şi dovezile lor pot fi reduse la manipularea numerelor din matematică.

Etapa 1

Să începem prin aranjarea pe un rând a tuturor simbolurilor utilizate de matematică, alături de toate simbolurile din logică şi toate numerele. Lista de mai jos este mult simplificată, dar ea serveşte la explicarea ideii generale a modului în care pot fi abordate lucrurile.

+ - × = x y 0 1 2 3 4 5 6

La fel ca în jocul numărării, vom plasa numere dedesubtul acestui rând:

+ - × = x y 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Dacă-mi daţi numărul Gödel 4, eu ştiu acum că acesta reprezintă semnul egalităţii, în timp ce numărul Gödel 10 reprezintă numărul 3.


Etapa 2

Nu numai simbolurilor şi numerelor individuale putem să le atribuim un număr Gödel, ci chiar o întreagă formulă poate fi redusă la un număr. Luaţi ca exemplu formula 2 + 2 = 4. Aceasta implică următoarele numere Gödel: 9 (pentru numărul 2), 1 (pentru semnul +), 4 (pentru semnul egal) şi 11 (pentru 4). Vom aduna acum aceste numere pentru a obţine un nou număr unic Gödel 34:

9 + 1 + 9 + 4 + 11 = 34

Astfel, numărul Gödel 34 reprezintă formula 2 + 2 = 4.

Dar acum ajungem într-un impas serios, pentru că 34 este, de asemenea, numărul  corespondent pentru formula 3 + 1 = 4. În această etapă, realizăm că ceea ce am luat ca fiind numere Godel nu sunt reprezentări unice şi că, atunci când avem de a face cu formule mai complicate, un număr Gödel poate reprezenta numărul unor formule diferite. În mod evident, aceasta nu va fi constitui o condiţie suficientă pentru definirea formulelor matematice într-un mod unic.

Acesta a fost momentul în care Gödel a propus folosirea numerelor prime. (Un număr prim, cum ar fi 7, 11, 13, 23 etc. nu poate fi divizat în alte numere, în timp ce unul care nu este prim, cum ar fi 12, poate fi divizat în 2 × 6 şi 3 × 4).

Astfel, noul număr Gödel pentru 2 + 2 = 4 devine acum (cu ajutorul secvenţei 9, 1, 9, 4, 11): 29x31x59x114x1311

Acest număr (foarte mare) este unic şi nu este folosit pentru nici o altă formulă. În acest mod, Gödel a putut exprima fiecare simbol şi fiecare formulă din matematică printr-un număr Gödel unic.

Etapa 3

Ceea ce se aplică pentru o singură formulă, se aplică de asemenea pentru o teoremă şi demonstraţia acesteia. Pur şi simplu se atribuie numere fiecărui simbol şi fiecărei linii scrise a unei demonstraţii. Acum să  exprimăm numărul Gödel pentru o demonstraţie Y. Putem spune că teorema cu numărul Gödel X are o demonstraţie cu numarul Gödel Y. Acest lucru este notat ca Dem (Y,X).

Însă poate exista, de asemenea, un caz în care unele secvenţe Y nu dovedesc adevărul teoremei X. Gödel a scris acest lucru ca ~Dem (Y,X). În mod evident, dacă putem demonstra că Dem (Y,X) şi ~Dem (Y,X) pot coexista, atunci matematica ar fi contradictorie.

Etapa 4

Am avansat destul de mult în argumentare pentru a putea reduce acum toate teoremele şi toate dovezile matematicii la o serie de numere Gödel. Cu toate acestea, nu am arătat încă modul în care un sistem logic poate de fapt să se refere la sine. O reevaluare a fundamentului logic este necesară. Să presupunem că am lua o idee de bază a matematicii, conform căreia numerele continuă la nesfârşit, astfel încât fiecare număr y are un succesor x. Matematicienilor le place să exprime acest lucru în felul următor: "Există un număr x, astfel încât x să fie succesorul lui y". Scrisă ca o formulă, aceasta se exprimă astfel:
(∃x) (x = Sy)                                                     (1)

Numărul y are asociat, aşa cum am văzut mai sus, numărul Gödel 6. În plus, formula întreagă are propriul său număr Gödel, care poate fi calculat la fel ca orice alt număr Gödel. Puteţi da formulei numărul M. Putem pune acest număr M înapoi în formulă în locul numărului 6 (adică al variabilei y).

(∃x) (x = SM)                                                    (2)

Această formulă spune: "există un anumit număr x astfel încât acesta să fie succesorul numărului M". Admitem ca M este un număr Gödel, dar ca orice număr din aritmetică el nu se comportă diferit de numărul 6 (care reprezintă numărul y).

Ca în orice altă formulă din matematică, linia (2) are un număr Gödel care poate fi calculat. Dar există o modalitate secundară de a calcula  acel număr. Noi îl putem calcula într-o manieră prin care matematica şi metamatematica încep să se oglindească şi să se reflecteze reciproc.

Să presupunem că scriem afirmaţia: "Formula obţinută din formula al cărui număr este "M", atunci când înlocuiţi numărul M pentru variabila cu numărul 6. " - Afirmaţia (a)

Afirmaţia (a) este lipsită de ambiguitate. Este o afirmaţie care poate fi scrisă în formă simbolică, astfel încât numărul său Gödel, N, să poată fi calculat.

Cu alte cuvinte, afirmaţia cu numărul Gödel N (Afirmaţia (a)) şi linia (2) sunt imaginile reciproce în oglindă - ale matematicii şi metamatematicii, care se reflectă acum reciproc în cadrul aceluiaşi sistem.

După ce a atins acest rezultat - oglindirea afirmaţiilor metamatematice în termeni proprii matematicii - Gödel a putut continua şi  a construit afirmaţia: "Formula cu numărul Gödel Z nu este demonstrabilă". - Afirmaţia (b)

Cu alte cuvinte, Gödel a construit o afirmaţie de tipul "Eu nu sunt demonstrabil" sau "Eu nu pot fi dovedit".

Gödel a adăugat, de asemenea, două etape finale la argumentaţia sa. În primul rând, el a arătat că, deşi Afirmaţia (b) nu poate fi demonstrată în cadrul sistemului său, este totuşi o afirmaţie adevărată. Cu alte cuvinte, el a arătat adevărul afirmaţiei, "Matematica este incompletă."

În al doilea rând, el a mai făcut un pas care este o reminiscenţă a afirmaţiilor coexistente Dem (Y,X) şi ~Dem (Y,X), care implicau faptul că matematica nu este consecventă.

Ceea ce a arătat el a fost că, în cazul în care Afirmaţia (b) era de fapt demonstrabilă, aceasta însemna, de asemenea, faptul că negarea Afirmaţiei (b) ar fi, de asemenea, demonstrabilă. Adică atât o afirmaţie, cât şi negaţia ei ar putea să fie simultan demonstrabile. Dar, în cazul în care Afirmaţia (b) ar fi demonstrabilă, acest lucru ar însemna că matematica este completă, adică fiecare afirmaţie poate fi demonstrată. Prin urmare, a doua concluzie a lui Gödel, "Dacă matematica ar fi completă - adică dacă Afirmaţia (b) ar putea fi demonstrată - atunci ea ar fi inconsecventă".

Traducerea, realizată de Maricica Botescu, este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.