Efectul flutureTermenul de haos planetar a fost introdus prin metafora nisipului din ceasul newtonian. Există şi alte situaţii când un comportament regulat, ciclic, ascunde seminţele haosului. Luaţi ca exemplu de comportament regulat un lac plin cu stuf, populat cu crapi şi ştiuci.

 

 

 

Sisteme haotice (50)


Dacă ştiucile sunt prea lacome, ele își vor epuiza sursa de hrană şi vor fi ameninţate cu dispariţia. Dar vor exista întotdeauna câţiva crăpuşteni ascunşi printre trestii şi, eliberaţi de ameninţarea unui număr atât de mare de ştiuci prădătoare, numărul lor va creşte. Curând, lacul va fi bine populat cu crapi şi cele câteva știuci rămase vor descoperi că pot avea o zi plină de evenimente. În scurt timp, populaţia de ştiucă va creşte şi mulţi crapi vor fi mâncaţi. Ciclul va reîncepe. Ştiucile flămânde nu-şi vor găsi uşor prada şi vor începe să moară de foame. An după an, generaţie după generaţie, atât numărul crapilor, cât şi cel al ştiucilor vor oscila într-un ritm stabil şi previzibil.

Oscilaţiile ciclice ale prădătorilor şi prăzii seamănă foarte mult cu ticăitul unui ceas. Însă, în acest caz, ritmul pendulului nu este unul determinat mecanic; mai degrabă rezultatele unui ciclu sunt cele care determină ce se va întâmpla în ciclul următor, într-un mod repetitiv. Matematicienii numesc această formă de repetiţie "iteraţie". Iteraţia înseamnă că rezultatul (outputul) unui calcul sau al unui ciclu reprezintă intrarea (inputul) pentru următorul. Unele iteraţii duc la situaţii stabile, cum ar fi populaţia de ştiucă şi crap, în timp ce altele produc haos.

Pentru a vedea cum se naşte haosul din cicluri regulate de populaţie, să schimbăm puţin exemplul. În loc de ştiuci şi crapi vom folosi iepuri. Eliberaţi o pereche de iepuri într-o regiune virgină şi ei se vor reproduce până când se vor răspândi în întreg teritoriul disponibil. Dar să presupunem că aceşti iepuri ajung pe o mică insulă pustie. La început, se vor reproduce şi se vor înmulţi, dar, curând, ei vor devora vegetaţia într-un ritm mai rapid decât aceasta va putea să se dezvolte. Asemenea ştiucilor care mănâncă prea mulţi crapi, iepurii vor începe să moară de foame.

Există doi factori care acţionează asupra populaţiei, unul determinând extinderea ei, prin reproducere şi altul pricinuind extincţia ei, prin spaţiul limitat în care este nevoită să trăiască şi hrana limitată de care poate dispune. Asemenea exemplului cu ştiuca şi crapul, mărimea populaţiei este determinată de o situaţie iterativă, deoarece iepurii tineri dintr-un sezon devin perechi reproducătoare pentru sezonul următor. Se pare că ecuaţia matematică de folosit pentru a modela acest comportament este destul de simplă şi, dacă avem o valoare pentru rata natalităţii, putem face previziuni privind populaţia pentru mulţi ani de zile de aici încolo.

Pentru a examina acest exemplu şi mai în detaliu, trebuie să uităm acum de iepurii reali şi să ne ocupăm de iepurii ipotetici dintr-un program de calculator, pentru care rata natalităţii poate fi ajustată la alegerea noastră. Iepurii reali nu funcţionează  în acest fel, cu excepţia cazului în care li se dau hormoni, dar exemplul acesta se aplică la o grămadă de alte situaţii din viaţa reală, de la răspândirea zvonurilor şi distribuţia genelor într-o populaţie, până la anumite reacţii chimice şi deteriorarea culturilor de către insecte.

Cu o rată a natalităţii scăzută, perechea iniţială de "iepuri" se reproduce şi populaţia creşte până când ajunge la un nivel stabil, care rămâne neschimbat de-a lungul generaţiilor. Această populaţie se află în echilibru cu resursele de pe insulă. Este populaţia stabilă, sustenabilă pentru acel mediu special.

Cu o rată a natalității mai ridicată, populaţia va creşte mai rapid, ajungând temporar la suprapopulare, apoi coborând din nou, şi, după un timp, va creşte iarăși. Rezultatul este o oscilaţie stabilă a mărimii populaţiei, o succesiune previzibilă de ani fertili şi ani mai puţin fertili, fapt ce oglindeşte exact comportamentul ştiucilor şi crapilor dintr-un lac.

Dar să presupunem că rata natalităţii este şi mai ridicată. Rezultatul unei analize matematice arată că în cadrul primei oscilaţii a anilor fertili şi mai puţin fertili, poate fi găsită o oscilaţie secundară, un sub-ciclu, un ciclu în interiorul unui ciclu. Este nevoie acum de patru rotiri ale ciclului pentru a reveni la punctul de plecare.

Creşterea şi mai mare a natalităţii înseamnă adăugarea de noi oscilaţii. Acum vorbim despre un caz de roţi conectate la alte roţi, la rându-le conectate la alte roţi sau oscilaţii în cadrul altor oscilaţii care, la rându-le, sunt parte a altor oscilaţii. Situaţia devine din ce în ce mai complexă; oamenii de ştiinţă ar trebui să adune date pe o durată de mai mulţi ani pentru a descrie modelul complex al oscilaţiilor şi să fie astfel în măsură să prezică dimensiunile populaţiei pentru anii următori.

În timp ce ciclurile din cadrul ciclurilor sunt complexe, ecuaţia matematică de bază este destul de simplă, şi, cu ajutorul unui calculator, oamenii de ştiinţă pot urmări modul în care ciclurile cresc în complexitate, de fiecare dată când rata natalităţii creşte foarte puţin. Ar fi firesc să presupunem că rezultatul final va fi un număr infinit de cicluri, o maşină de proporţii incredibile care conţine un număr nelimitat de roţi dinţate conectate la alte roţi dinţate. Dar, oricât de complexă poate părea situaţia de faţă, este totuşi o formă ordonată de comportament, deoarece, dacă cineva ar vrea să aştepte o perioadă practic infinită de timp, comportamentul s-ar relua, ciclic.

Acest lucru, de fapt, nu reflectă ceea ce se întâmplă în realitate. Sistemul ajunge la un punct critic în care cea mai mică creştere a ratei natalităţii nu mai generează un ciclu suplimentar, ci, mai degrabă, un comportament haotic. Populaţia fluctuează acum la întâmplare, de la un moment la altul. Nicio cantitate de date colectate nu mai este de ajuns pentru a prezice populaţia din clipa următoare. Aceasta pare a nu mai respecta vreo regulă. Este ceva cu adevărat aleatoriu şi haotic.



Prin intermediul acestui exemplu am făcut cunoştinţă cu unul din paradoxurile care se află în inima teoriei haosului: ce înseamnă să spunem că ceva este aleatoriu sau că nu este caracterizat de vreo ordine? Dacă arunci o monedă în aer, nu poţi prezice dacă vei obţine cap sau pajură. Dacă arunci o bilă în roata unei rulete, nu ştii dacă se va opri pe negru sau pe roşu. Rezultatul este aleatoriu. Cunoaşterea rezultatelor unei lungi succesiuni  de aruncări ale monedei nu este de ajutor în estimarea rezultatului următor. Dacă cineva a obţinut de şase ori la rând capul, probabilitatea de a obţine următoarea dată capul rămâne exact de 50/50. Succesiunea capetelor şi pajurilor este aleatorie. Dar asta nu înseamnă că procesul prin care moneda se opreşte la cap sau pajură este în sine unul de dincolo de orice ordine. De fiecare dată când aruncaţi o monedă, utilizaţi o cantitate de forţă puţin diferită de alte aruncări şi astfel moneda se învârteşte în aer pentru o perioadă de timp puţin diferită. În acelaşi interval de timp, moneda vine în contact într-un mod aleatoriu cu diferiţi curenţi de aer şi, când aceasta cade pe masă, sare şi se roteşte, înainte de a se opri la cap sau pajură. Când este aruncată, moneda este subiectul unui număr mare de perturbaţii şi deranjamente, aflate în afara controlului nostru. Mai mult decât atât, aceşti factori sunt atât de complecşi încât nu pot fi luaţi nicicum în calcul în mod riguros. Cu toate acestea, în fiecare moment al  zborului monedei totul este complet determinist.

Acelaşi lucru se întâmplă într-o maşină de pinball sau o roată de ruletă. În ambele cazuri, bila traversează o serie complexă de coliziuni. Mai degrabă decât a vorbi de lipsa totală a ordinii, putem spune că există o ordine atât de complexă încât este dincolo de orice previziune.

La fel, în timp ce teoria haosului se ocupă de domeniile aleatoriului şi probabilităţilor, ecuaţiile sale sunt în întregime deterministe. Introduceţi datele corecte şi răspunsul va reieşi din ele. În principiu, cel puţin, abordarea unui sistem haotic nu este diferită de estimarea căderii unui măr sau de trimiterea unei rachete pe Lună. În fiecare caz în parte, legile deterministe sunt cele care guvernează funcţionarea sistemului. Din acest punct de vedere caracterul aleatoriu din teoria haosului diferă de cel ce ţine de teoria cuantică. O piatră care se rostogoleşte de pe un munte se ciocneşte ici-colo de contururile pantei. Rezultatul final, şi anume locul unde se aşază piatra în cele din urmă, este aleatoriu. Cu toate acestea, fiecare izbitură este complet deterministă şi se supune legilor de mişcare ale lui Newton. Extrema complexitate a procesului rezultă din numărul mare de perturbaţii externe care acţionează asupra stâncii. Haosul şi caracterul aleatoriu nu înseamnă absenţa legii şi ordinii, ci, mai degrabă, prezenţa unor tipuri de ordine atât de complexe, încât se află dincolo de abilitățile noastre de a le înţelege şi descrie.

Caracterul aleatoriu nu este întotdeauna cauzat de perturbaţii externe. Într-un râu care curge cu viteză, o cantitate individuală, mică de apă este împinsă încoace şi încolo de acel râu, ca o piatră ce se rostogoleşte pe panta unui munte. Întregul sistem acţionează ca o serie complexă de perturbaţii interne care influenţează fiecare aspect al întregului. Feedback-ul şi actul iterativ acţionează în cadrul sistemului, creând o complexitate din ce în ce mai mare. Rezultatul este un râu turbulent.

Acum haideţi să aruncăm încă o privire spre oglinda haosului. Vom descoperi că ceea ce considerăm a fi un sistem aleatoriu, fără nicio ordine vizibilă, poate fi înţeles, de asemenea, ca fiind caracterizat de o ordine de o infinită bogăţie şi complexitate. Fiecare aspect al unui sistem haotic este determinist şi guvernat de un feedback intern, iteraţii constante sau perturbaţii externe complexe. La fel, un calcul computerizat trebuie să simuleze aceste efecte concrete. A modela comportamentul unui râu turbulent sau al unei populaţii cu o rată variabilă a natalităţii înseamnă a considera rezultatul unei etape de calcul ca date de intrare pentru următoarea rundă de calcule. Asemenea sistemului însuși, calculul făcut de computer este unul iterativ, cu fiecare ieşire fiind intrare pentru următorul ciclu.

Acest lucru ne conduce la un alt paradox al teoriei haosului pentru că, deşi ecuaţiile unui sistem sunt complet deterministe, rezultatele finale nu pot fi niciodată calculate cu exactitate. Chiar şi cele mai rapide şi mai mari calculatoare au limite. Acestea pot efectua un calcul cu o exactitate de zece zecimale, un rezultat suficient pentru cele mai multe scopuri. Dar acest lucru înseamnă că există întotdeauna o incertitudine privind zecimala finală, o incertitudine de ordinul unei sutimi de miliard. Această eroare pare lipsită de importanţă până când cineva realizează că această incertitudine, deşi de dimensiuni minuscule, se propagă în cadrul calculelor, la fiecare iteraţie. În condiţii critice, propagarea ciclică a unei incertitudini aproape infinit de mici poate ajunge să domine rezultatul în ansamblul său.

Meteorologul Edward Lorenz a descoperit acest lucru în 1960, când a repetat iterativ calculele corespunzătoare unei serii de ecuaţii simple, folosite în previziunea vremii. Pentru a accelera calculul, el a renunţat la unele zecimale dar, spre surprinderea lui, în momentul când calculul a fost finalizat a descoperit că predicţia meteo rezultată era mult diferită de calculul său iniţial, mult mai precis. O incertitudine mică în datele iniţiale ale sistemului meteo de prognozat a avut efecte majore asupra rezultatelor finale.

Făcând o analogie cu calculul computerizat, atunci când prognoza meteo se referă la condiţii de instabilitate o perturbaţie mică poate produce o schimbare radicală a vremii. Când vorbim de un sistem aflat pe muchie de cuţit sau la un punct de bifurcaţie, chiar şi bătaia aripilor unui fluture poate trimite sistemul într-o direcţie total diferită. Chinezii au atras atenţia în antichitate asupra legăturilor şi interconexiunilor dintre toate lucrurile, afirmând că bătaia aripilor unui fluture poate schimba evenimente care se petrec de cealaltă parte a lumii. În teoria haosului acest "efect fluture" simbolizează extrema sensibilitate a sistemelor neliniare în punctele lor de bifurcaţie. Acolo, cea mai mică perturbare poate împinge sistemul spre stări haotice sau către forme destul de diferite de comportament ordonat. Pentru că niciodată nu putem avea informaţii complete şi nu putem opera cu un număr infinit de zecimale, va exista întotdeauna un nivel mic de incertitudine care va putea creşte până la punctul în care va începe să domine sistemul. Acesta este motivul pentru care teoria haosului ne aminteşte că incertitudinea poate submina întotdeauna încercările noastre de a descrie complet cosmosul folosind scheme şi raţionamente matematice.

Există încă un motiv pentru care un sistem, în principiu determinist, poate fi impredictibil în practică. Lăsând limitările calculatoarelor deoparte, este imposibil să colectezi toate datele necesare pentru a caracteriza un sistem în mod exhaustiv, adică fără a lăsa vreo fărâmă de eroare sau incertitudine să se strecoare în calcule. Iar această incertitudine se amplifică rapid atunci când sistemele suferă iteraţii datorate comportamentului lor intern. Să considerăm din nou sistemele de prognoză meteo. O argumentaţie matematică (bazată pe proprietăţile fractalilor) conduce la ideea că nu poate exista niciodată un număr suficient de mare de staţii meteorologice pentru a colecta toate informaţiile necesare care să descrie detaliile fine ale stării vremii la un moment dat. (Dimensiunea fractală a vremii este mai mare decât dimensiunea fractală a oricărei reţele de staţii meteorologice). Deşi este posibil să anticipăm tendinţele meteo pentru câteva zile în avans, nu putem prevedea cu exactitate cum va fi vremea la un moment dat. Putem anticipa că mâine va ploua, dar nu putem şti câţi milimetri cubi de apă vor cădea într-un loc anume, nici ora exactă când va începe să plouă.

În plus, la fel ca şi în teoria cuantică, actul de observare al unui sistem tulbură proprietăţile sistemului: efectul introducerii unei sonde sau al efectuării unei măsurători atunci când un sistem se află într-un punct de bifurcaţie sau într-o stare haotică poate, de asemenea, să conducă la răspunsuri imprevizibile ale sistemului. Deşi este întotdeauna posibil să ajustezi şi să reglezi fin un sistem liniar, lucrurile sunt cu totul diferite atunci când vine vorba de neliniaritate. Într-un anumit domeniu de comportament sistemul poate să răspundă la o manipulare corectivă; în alte regimuri de funcţionare, o corecţie mică poate împinge sistemul într-o direcţie neaşteptată.


Haos, haos pretutindeni. Hazardul (52)


Traducerea, realizată de Maricica Botescu, este cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.