Fizica conceptualăVom vorbi astăzi despre conservarea impusului. Să ne întoarcem la povestea imposibilă a lui Jen Yu şi Iron Arm Lu. Pentru simplitate îi vom reprezenta ca două bile de biliard obişnuite (imaginea a). Poate părea o simplificare drastică, dar putem vedea lucrurile şi astfel.

 

 

CUPRINS

2.3.1 Conservarea impulsului

Chiar şi o coliziune dintre două corpuri umane reprezintă cu adevărat doar o serie de coliziuni între atomi. În film (vezi mai jos) sunt prezente o seriei de instantanee, văzute de sus. Bila deschisă la culoare loveşte bila închisă la culoare şi ricoşează. Pare straniu că bila închisă are un efect atât de puternic asupra bilei deschise, fără a suferi nici o consecinţă, dar cum putem arăta că acest lucru este cu adevărat imposibil?

Coliziune bile
Imaginea a. Cum putem dovedi că această coliziune este imposibilă?

Putem arăta că este imposibilă uitându-ne la ea dintr-un sistem de referinţă diferit, b. Camera urmăreşte acum bila deschisă la culoare pe măsură ce se deplasează, astfel că în acest sistem de referinţă bila deschisă la culoare pare nemişcată. (Dacă vreodată sunteţi chemat în instanţă sub acuzaţia de atac pentru lovirea cuiva, încercați această apărare "Onorată instanţă, în primul meu sistem de referinţă, faţa lui a fost aceea care mi-a atacat pumnii").

După coliziune lăsăm camera să se mişte în aceeaşi direcţie, pentru că dacă nu am face-o, nu ne-ar arăta un sistem de referinţă inerţial. Pentru a vă convinge că figurile a şi b reprezintă aceeaşi mişcare văzută în două sisteme de referinţă diferite, observăm faptul că ambele filme indică aceeaşi distanţă între bile în fiecare clipă.

După coliziune, sistemul de referinţă b arată bila deschisă mişcându-se de două ori mai repede decât cea întunecată. Un observator care preferă sistemul de referinţă a explică acest lucru spunând că în fapt camera care a înregistrat filmul b s-a mişcat pe o direcţie, în timp ce bila s-a mişcat în direcţia opusă.

 

Coliziune bile
Imaginea b. Coliziunea din imaginea a este văzută dintr-un sistem de referinţă diferit

 

Imaginile a şi b descriu aceleaşi evenimente, deci dacă unul este imposibil şi celălalt este. Dar imaginea b reprezintă cu siguranţă o situaţie imposibilă, deoarece încalcă legea conservării energiei. Înainte de coliziune, singura energie cinetică este cea a bilei închise la culoare. După coliziune bila deschisă dobândeşte dintr-odată energie, dar de unde provine această energie? Poate veni doar de la bila întunecată. Bila întunecată trebuie să fi pierdut energie, dar e evident că nu, din moment ce bila se mişcă cu aceeaşi viteză ca înainte.

Imaginea c prezintă ceea ce se întâmplă cu adevărat. Acest tip de comportament este familiar pentru oricine joacă biliard. Într-o coliziune directă bila de intrare se opreşte, iar bila ţintă îi preia toată energia şi se depărtează. În  figura c/1, bila deschisă loveşte bila întunecată. În c/2 camera urmează iniţial bila deschisă; în acest sistem de referinţă bila închisă loveşte bila deschisă ("Judecătorule, faţa lui mi-a lovit pumnii"). Sistemul de referinţă arătat în figura c/3 este deosebit de interesant. Aici camera stă mereu la punctul de mijloc dintre cele două bile. Acesta este numit sistem de referinţă al centrului de masă.

 

Coliziuni bile
Imaginea c. Aceasta este ceea ce se întâmplă cu adevărat. Trei filme prezintă aceeaşi coliziune văzută din sisteme de referinţă diferite. Energia este conservată în toate trei sistemele.

 

Autoverificare B

În fiecare cadru din figura c/1, marchează cu x punctul aflat la jumătatea distanţei dintre două bile. Această serie de cinci x-uri reprezintă mişcarea camerei, care a fost utilizată pentru a face acest film. Cât de repede se mişcă de fapt camera? Reprezintă aceasta un sistem de referinţă inerţial?

Ce este special la sistemul de referinţă al centrului de masă este simetria sa. În acest sistem ambele bile au aceeaşi viteză iniţială. Din moment ce acestea au pornit cu aceeaşi viteză şi au aceeaşi masă, nu există nici un motiv să se comporte diferit după coliziune.

Prin simetriei, dacă asupra bilei deschise se exercită o acţiune de către bila întunecată şi asupra bilei întunecate se va exercita o acţiune de către bila deschisă la culoare.

Aceasta este exact ca regulile de contabilitate. Să presupunem că două mari corporaţii fac afaceri între ele. Dacă Glutcorp plăteşte un milion de dolari companiei Slushco, se întâmplă două lucruri: contul bancar al Glutcorp scade cu un milion de dolari, iar contul bancar al Slushco creşte cu aceeaşi sumă. Documentele celor două companii trebuie să prezinte tranzacţii la aceeaşi dată, egale în dimensiuni, dar una este pozitivă (plată) şi una este negativă. Ce se întâmplă dacă documentele companiei Glutcorp arată -1.000.000 de dolari, iar documentele companiei Slushco arată +920.000? Aceasta arată că legea a fost spulberată, contabilii se pregătesc să sune la poliţie şi încep să caute angajatul care conduce un Jaguar de 80.000 de dolari. Cantitatea de banii ar trebui să fie aceeaşi.

În figura c vom denumi vitezele ca fiind pozitive în cazul în care mişcarea este realizată spre partea de sus a paginii. În figura c/1 vom afirma că viteza bilei de deschise care se apropie de cea închisă este de 1 m/s.



Bilanţul schimburilor. Bila deschisă plăteşte, -1, în timp ce bila inchisă primeşte, +1. Totul funcţionează la fel, prin conservarea energiei şi în sistemul de referinţă al centrului de masă.



Autoverificare C

Creaţi un tabel similar cu cel din figura c/2. Ce observaţi legat de schimbarea vitezelor comparând cele trei tabele?   

Contabilitatea funcţionează deoarece cantitatea de bani se conservă. Evident, ceva se conservă în cazul în care bilele se ciocnesc. Îl numim impuls. Impulsul nu este acelaşi cu viteza, deoarece cantităţile conservate trebuie să fie aditive. Bilele noastre sunt precum atomii identici, dar atomi pot fi uniţi împreună pentru a forma molecule, oameni, planete etc. Deoarece legile conservării lucrează prin adiţie, doi atomi uniţi, deplasându-se cu o anumită viteză, trebuie să aibă un impuls dublu decât ar avea un singur atom. Prin urmare, vom defini impulsul ca viteza înmulţită cu masa.

Conservarea impulsului

Mărimea definită de impuls = mv  se conservată.

Acesta este a doua exemplificare a teoremei lui Noether:

Simetrie Cantitate necesară
Simetria timpului masă-energie
Simetria translaţiei impuls

 

Exemplul 2. Conservarea momentului pentru bilele de biliard
:: este impulsul conservat în figura c/1?
:: trebuie să verificăm dacă impulsul total iniţial corespunde cu impulsul total final

Impulsul total iniţial al bilei întunecate + impulsul total iniţial al bilei deschise = ?
Impulsul total final al bilei întunecate + impulsul total final al bilei deschise = ?
Da, momentul a fost conservat: 0 + mv = 0 + mv


Exemplul 3. Patinatori care se împing reciproc


Patinatori


Dacă patinatorii din figura d au mase egale, atunci simetria stânga-dreapta (în oglindă) implică faptul că s-au mişcat cu viteze egale în sensuri opuse. Să verificăm dacă acest lucru este în concordanţă cu conservarea impulsului:

Impulsul iniţial al patinatorului stâng + impulsul iniţial al patinatorului drept = ?
Impulsul final al patinatorului stâng+impulsul final al patinatorului drept = ?
Momentul a fost conservat: 0 + 0 = m * (-v) + mv

Acesta este un exemplu interesant, deoarece dacă aceştia ar fi bile de biliard în loc de oameni, i-am acuza de încălcarea legii conservării energiei. Iniţial energia cinetică a fost 0, dar la sfârşit nu a fost 0.  (Reţineţi că la sfârşit energia nu se anulează, deoarece energia cinetică este întotdeauna pozitivă, indiferent de direcţie.) Misterul este rezolvat, deoarece ei sunt oameni nu bile de biliard. Ambii consumă hrană, prin urmare au energie chimică în corpurile lor:

energia hranei --> energie cinetică + energie cinetică + căldură


Exemplul 4. Mase inegale                                                                                     

:: Să presupunem că patinatorii au mase inegale: 50 de kg cel din stânga şi 55 de kg cel din dreapta. Patinatorul mai masiv din dreapta, se mişcă cu 1 m/s. Cât de rapid se deplasează patinatorul mai puţin masiv?
:: Impulsurile lor trebuie să aibă valori numerice egale, dar semne diferite. Patinatorul cel mai puţin masiv trebuie să aibă o viteză mai mare dacă impulsul său este la fel de puternic ca al patinatorului mai masiv.


Formule