(Timp citire: 2 - 3 minute)

La școală ați învățat mulțimea numerelor naturale, mulțimea numerelor întregi și așa mai departe, dar v-ați gândit vreodată care este suma tuturor numerelor naturale? Parcă v-aţi gândi că ar trebui să fie infinit, nu? Totuși, răspunsul adevărat este -1/12, iar în acest articol tocmai acest lucru vom demonstra.


În primul rând, va trebui să aflăm sume de mai jos pentru a ajunge la rezultatul final, suma tuturor numerelor naturale:


     S1 = 1-1+1-1+1-1+... (la infinit)

     S2 = 1-2+3-4+5-6+...


Vom începe cu prima sumă, S1. La prima vedere, dacă ar fi să grupăm termenii 2 câte doi începând cu primii doi, rezultatul pare să fie 0:

     S1 = (1-1)+(1-1)+(1-1)... = 0+0+0+... = 0

Dar dacă grupăm termenii 2 câte doi, începând cu al doilea? Atunci rezultatul devine 1:

     S1 = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+... = 1+0+0+0+... = 1

Deci S1 este egală și cu 0, și cu 1. Totuși, mai există un rezultat. Gândiți-vă la această situație, când din 1 scădem S1:

     1-S1 = 1-(1-1+1-1+1-1...) = 1-1+1-1+1-1... = S1

Rezultatul este tot S1! Dacă 1-S1 = S1, atunci 2*S1 = 1, deci S1 = 1/2. Acesta este considerat de matematicieni ca fiind răspunsul corect pentru că, pe lângă faptul că poate fi demonstrat matematic, ceea ce am făcut mai sus, este și media tuturor rezultatelor posibile ale sumei.

Acum că știm că știm prima sumă, putem trece mai departe la a doua sumă, S2. Pentru a rezolva această sumă, vom începe prin a adăuga la ea încă o dată aceeași sumă, dublând-o.

     2*S2 = 1-2+3-4+5-6+...   + 1-2+3-4+5-6+... 

Vom lăsa primul 1 (în roşu) deoparte şi vom efectua calculele cu restul numerelor: -2 din partea stângă a sumei va fi adunat cu 1 din partea dreaptă (în albastru), 3 cu -2 (în verde) şamd. Va rezulta:

     2*S2 = 1-2+3-4+5-6+...   + 1-2+3-4+5-6+... = 1-1+1-1+1-1+... = S1
    
Am ajuns din nou la prima sumă! De data asta, știm cu cât este egală, deci putem înlocui mai sus cu ce știm deja:

     2*S2 = 1/2 => S2 = 1/4

Astfel, am aflat a doua sumă. Acum avem tot ce ne trebuie ca să demonstrăm că suma tuturor numerelor naturale este -1/12. Avem următoarea situație, din S (suma tuturor numerelor naturale) scădem S2:

     S-S2 =  1+2+3+4+5+6+... - (1-2+3-4+5-6+...)  =  0+4+0+8+0+12... = 4+8+12...
    
În această situație, îl putem da pe 4 ca factor comun, ajungând la următorul rezultat:

     S-S2 = 4(1+2+3+4...) => S-S2 = 4*S

Știm deja că S2 este 1/4, deci putem înlocui în ecuație ca să ajungem la finalul calculului:

S-1/4 = 4*S => -1/4 = 3*S => S = -1/12


Astfel, răspunsul care părea imposibil la început acum pare a fi... în regulă.

 

Pentru o altă perspectivă asupra acestei sume, citiţi: How does “1+2+3+4+5+… = -1/12” make any sense?

Bibliografie:
Wikipedia
NYTimes