(Timp citire: 4 minute)

În acest articol, ne vom concentra pe aflarea cardinalului (numărul elementelor unei mulţimi) reuniunii a două sau trei mulţimi, folosindu-ne de operaţiile cu mulţimi. Articolul este adresat în principal elevilor de clasa a VI-a, dar metoda explicată poate fi folosită de oricine în rezolvarea de probleme.




În primul rând, dacă vrem să aflăm cardinalul reuniunii a două mulţimi disjuncte (două mulţimi sunt disjuncte atunci când intersecţia lor este mulţimea vidă), vom avea

(1) card(A U B) = cardA + cardB.

Dar ce facem dacă avem două mulţimi care nu sunt disjuncte?

Înainte de a formula teorema, trebuie să scoatem în evidenţă faptul că

(2) A - B = A - (A ∩ B)

şi, deci,

card(A - B) = cardA - card(A ∩ B),

iar

(3) A U B = (A - B) U B.

Ne vom folosi de aceste trei observaţii mai târziu, pentru demonstrarea teoremei.

 

Prima teoremă:

Dacă A şi B sunt două mulţimi finite, atunci card(A U B) = cardA + cardB - card(A ∩ B).

Demonstraţia este simplă. Folosindu-ne de a treia observaţie, putem scrie

card(A U B) = card((A - B) U B).

Deoarece mulţimile A - B şi B sunt disjuncte,

card((A - B) U B) = card(A - B) + cardB.

Înlocuind în prima relaţie, obţinem

card(A U B) = card(A - B) + cardB

şi datorită celei de-a doua observaţii,

card(A U B) = cardA - card(A ∩ B) + cardB,

iar teorema este demonstrată.

Problemă:

Într-o clasă 13 elevi practică fotbal, 18 elevi practică handbal, iar 5 elevi practică şi fotbal, şi handbal. Câţi elevi sunt în clasă?

Soluţie:

Vom nota cu A mulţimea elevilor care practică fotbal şi cu B mulţimea celor care practică handbal. Ca urmare, mulţimea celor care practică ambele sporturi va fi A ∩ B, iar mulţimea copiilor din clasă va fi A U B. Folosindu-ne de teorema de mai sus, vom nota card(A U B) = cardA + cardB - card(A ∩ B) = 13 + 18 - 5 = 26. În concluzie, în clasă se află 26 de copii.

Am rezolvat problema, dar am avut noroc că am avut nevoie doar de două mulţimi! Dar ce ne facem când ne trebuie trei mulţimi sau chiar mai multe? În acest articol vom face demonstraţia pentru cazul cu trei mulţimi.

Vreau să fac două observaţii ce ne vor ajuta la demonstrarea teoremei:

(1) (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

şi

(2) (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C.

 

A doua teoremă:

Dacă A, B şi C sunt trei mulţimi finite, atunci card(A U B U C) = cardA + cardB + cardC - card(A ∩ B) - card(A ∩ C) - card(B ∩ C) + card(A ∩ B ∩ C).

Demonstraţia este puţin mai complicată, dar cu atenţie şi răbdare, este uşor de înţeles:

card(A U B U C) = card((A U B) U C) = card(A U B) + cardC - card((A U B) ∩ C) =  cardA + cardB - card(A ∩ B) + cardC - card((A ∩ C) U (B ∩ C)) = cardA + cardB + cardC - card(A ∩ B) - (card(A ∩ C) + card(B ∩ C) - card(A ∩ C ∩ B ∩ C)) = cardA + cardB + cardC - card(A ∩ B) - card(A ∩ C) - card(B ∩ C) + card(A ∩ B ∩ C).

Destul de complicat, nu-i aşa?

Problemă:

Într-o cameră cu 24 de oameni, 10 persoane vorbesc engleză, 12 vorbesc română, iar 8 vorbesc germană. Ştim că 2 persoane vorbesc şi engleză, şi română, 3 oameni vorbesc şi română, şi germană, iar 2 persoane vorbesc şi engleză, şi germană. Demonstraţi că există cel puţin un om care vorbeşte şi engleză, şi română, şi germană.

Soluţie:

Vom nota cu A mulţimea oamenilor care vorbesc engleză, cu B mulţimea oamenilor care vorbesc română şi cu C mulţimea oamenilor care vorbesc germană. Atunci, mulţimea oamenilor din cameră va fi notată cu A U B U C, mulţimea celor care vorbesc şi engleză, şi română cu A ∩ B, mulţimea celor care vorbesc şi română, şi germană cu B ∩ C, iar mulţimea celor care vorbesc şi engleză, şi germană cu A ∩ C. În final, vom nota cu A ∩ B ∩ C mulţimea celor care vorbesc toate cele trei limbi.

Din a doua teoremă avem:

card(A U B U C) = cardA + cardB + cardC - card(A ∩ B) - card(A ∩ C) - card(B ∩ C) + card(A ∩ B ∩ C).

După ce înlocuim cu datele din ipoteză, obţinem:

24 = 10 + 12 + 8 - 2 - 3 - 2 + card(A ∩ B ∩ C),

de unde rezultă

card(A ∩ B ∩ C) = 1.

În concluzie, în cameră există o persoană care vorbeşte toate cele trei limbi.