În acest articol vom vorbi despre metoda falsei ipoteze şi despre modul în care aceasta poate fi folosită pentru rezolvarea unor probleme de matematică. Această metodă se predă la nivelul clasei a patra (nu la clasă, cel puţin nu la şcoala mea, ci în cadrul Centrului de Excelenţă în Matematică, Bucureşti).

 

 

 

Metoda falsei ipoteze

O problemă este formată din datele care se dau şi care formează ipoteza problemei şi cerinţa / cerinţele problemei. Metoda falsei ipoteze constă în a presupune că ipoteza problemei este incorectă. Pornind de la această idee, ne vom folosi de abordarea care decurge pentru a ajunge rapid la o rezolvare a problemei. Este mai simplu de înţeles dintr-un exemplu, aşa că vă rog să citiţi rezolvarea problemei de mai jos.

Problema 1

“În curtea unui ţăran sunt struţi şi oi. Numărul capetelor este 20, iar numărul picioarelor este 50. Câte oi şi câţi struţi sunt în curte?”

Rezolvare:


Problema spune că în curte sunt struţi şi oi. Folosind metoda falsei ipoteze, vom presupune ca sunt doar oi, aşa că noua ipoteză va fi: “În ogradă sunt 20 de oi”, pentru că există 20 de capete.

Dacă sunt 20 de capete, picioarele vor fi: 20 x 4 = 80 (picioare)

Observăm că numărul de picioare dat de problemă este de 50. Pentru a scăpa de diferenţa dintre 80 și 50 avem nevoie şi de struţi, nu numai de oi, deci ipoteza noastră, că ar fi doar oi în curte, este falsă.

Mai departe observăm că dacă înlocuim o oaie cu un struţ se scad cu 2 suma totală de picioare, aşa că vom scădea până vom ajunge la 50. O metodă mai rapidă decât înlocuirea „bucată cu bucată” a oilor cu struţi este aceea de a împărţi diferenţa dintre 80 şi 50 la numărul de picioare care se scade cu fiecare înlocuire de animal. Astfel, 30 : 2 = 15 (struţi)

Deoarece în curte sunt 20 de capete, dintre care 15 de struţi, putem afla numărul de oi prin diferenţă: 20 - 15 = 5 (oi)

Rezultat: în ogradă sunt 15 struţi şi 5 oi.





Problema 2

Iată mai jos o problemă cu un nivel mai ridicat de dificultate.

“Avem seria de numere: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şi 10. Puteţi să aranjaţi aceste numere pe un cerc, astfel încât suma oricăror trei numere alăturate să fie impară? Justificaţi răspunsul.”

Rezolvare:

Presupunem că se poate să aranjăm numerele pe un cerc, astfel încât suma oricăror 3 numere alăturate să fie impară.

Observăm că în seria 1 ... 10 avem cinci numere pare şi cinci numere impare. Cum este nerelevant care sunt numerele alăturate a căror sumă va trebui să fie impară (ci dacă suma a trei alăturate este impară ori nu), ne vom folosi de notaţia i=impar şi p=par, pentru a aranja numerele, în încercarea de a stabili dacă există ori nu posibilitatea aşezării lor conform cerinţei problemei.

Iată ce posibilităţi de aranjament iniţial există:
iii   
ppi
pip
ipp


Aşa cum se poate observa, am luat în calcul toate variantele prin care combinând numere pare şi numere impare să am o sumă a celor trei numere care să fie impară. Acum ne mai rămâne să testăm fiecare dintre cele patru aranajamente iniţiale, pentru a observa dacă putem continua aranjarea de numere, astfel încât să aranjăm pe un cerc toate cele 10 numere, iar suma oricăror trei numere alăturate să fie impară.

Impar-impar-impar

Următorul număr pentru primul aranjament, iii, ar trebui să fie tot un număr impar, pentru că numai un număr impar adunat cu două numere impare precedente va duce la o sumă impară. Observăm că avem nevoie numai de numere impare pentru a continua seria, pentru că dacă adăugăm un număr par, dat fiind că suma a două numere impare este un număr par, vom avea o sumă a celor trei numere pară. Deci concluzia primei încercări este că nu putem aşeza numerele avute la dispoziţie şi să răspundem cerinţei problemei.

Mai rămân de testat variantele ppi, pip şi ipp.

Par-par-impar
Dacă avem ppi trebuie să urmeze: p, p, i, p, iar în continuare am fi avut nevoie de un nou număr par, dar nu mai există, pentru că de la 1 la 10 sunt doar 5 numere pare, aşa că varianta ppi este incorectă.

Par-impar-par
Dacă avem pip trebuie să urmeze: p, i, p, p şi din nou ar trebui să aşezăm un număr par, dar am depăşi limita de 5 numere pare avute la dispoziţie, aşa că nici varianta pip nu este corectă.

Impar-par-par
Mai avem o variantă, iar aceea este ipp, care ar avea urmarea astfel: i, p, p, i, p, iar următorul ar trebui să fie par, ceea ce ar depăşi din nou limita de 5 numere pare de care dispunem.

Adevărul este că am progresat în numărul numerelor aşezate în serie, folosind 8 dintre cele 10 aflate la dispoziţie, dar nu am ajuns la o aranjare a celor 10 numere care să îndeplinească cerinţa din problemă.

Rezultat: nu putem aranja toate numerele de de la 1 la 10 pe un cerc astfel încât suma a 3 numere alăturate să fie impară.

Nivel: matematică clasa a IV-a