MatematicaCum credeţi că putem calcula: 1+2+3+...+9+10=? Poate că pare uşor să aflăm rezultatul, adunând număr cu număr, dar ce facem în cazul unor alte serii, mai complicate, ca:  5+6+7+8+...+54+55=? ori 10+11+12+13+...+59+60=?

 

 

 

În acest articol vom prezenta metoda inventată de Carl Gauss de a aduna numere consecutive. Metoda, care după câte ştim, a fost descoperită de Gauss pe când era elev, este una uşor de învăţat şi aplicat.

Să luăm următorul exemplu: care este suma numerelor ce formează seria 5,6…33,34? Observăm că dacă adunăm primul număr al seriei (5) cu ultimul (34) obţinem 39. Dacă adunăm al doilea număr al seriei (6) cu penultimul (33), de asemenea, obţinem 39. Şi continuăm astfel, până epuizăm toate numerele seriei, două câte două.

 

 

Seria are 30 de numere (cum aflăm asta uşor? Folosind această formulă: (X-Y)+1=Z, unde X este ultimul număr al seriei, Y este primul număr al seriei, iar Z este numărul de elemente (numere) al seriei). Dacă seria are 30 de numere, asta înseamnă că vom avea de 15 ori de adunat 39 (care rezultă din adunarea perechilor de numere corespondente, aşa cum aţi văzut mai sus). Prin urmare formula de aplicat pentru a obţine rapid rezultatul adunării numerelor care constituie seria de numere consecutive 5,6…33,34 este: 39x15=585, unde 39 reprezintă suma rezultată din adunarea numerelor corespondente, două câte două, iar 15 reprezintă de câte ori obţinem această sumă (şi, având 30 de numere, adunându-le 2 câte două, vom avea 15 sume).

Iată un alt exemplu. Să calculăm suma numerelor care formează seria: 23,24…78,79. Seria are 57 de numere. Observăm că numărul componentelor seriei este impar. Asta înseamnă că un număr, cel de la mijlocul seriei, nu poate fi adunat cu un altul pentru a rezulta, aşa cum rezultă din adunarea numerelor corespondente (primul cu ultimul, al doilea cu penultimul şamd) 102. Numărul de la mijlocul seriei este 51. Prin urmare rezultatul va fi 102x28+51=387, unde 102 reprezintă suma adunării dintre primul şi ultimul număr al seriei, al doilea şi penultimul etc., 28 este numărul de adunări dintre numărul corespondente, dat fiind că sunt 57 de numere în serie, iar 51 este numărul fără pereche, de la mijlocul seriei.

E de menţionat că nu trebuie ca diferenţa dintre numerele consecutive să fie de unu ca această formulă să funcţioneze. Putem rezolva cu ea şi o serie de genul 3,6,9,12,15,18,21. Observăm că primul număr adunat cu ultimul dă 24, ca şi al dolea cu penultimul, ca şi al treilea cu antepenultimul. De câte ori obţinem această sumă? De 3 ori, deci putem scrie: 24x3=72.

O altă metodă de adunare a numerelor consecutive, mai rapidă

Vi se pare grea totuşi această metodă? Iată una mai simplă, pe care o puteţi aplica direct. Avem seria de numere 3,4…32,33. Vrem să aflăm suma numerelor care formează seria. Dacă înmulţim numărul de elemente al seriei cu suma dintre primul şi ultimul număr al seriei şi împărţim ce obţinem la 2 am obţinut rezultatul. Iată ce înseamnă acest lucru aplicat seriei noastre.


(33+3)x31/2

unde 33+3 reprezintă suma dintre primul şi ultimul număr al seriei, 31 reprezintă numărul de elemente (de numere) al seriei. Rezultatul? 558.

Iată un ultim exemplu. Să se calculeze suma numerelor care formează seria: 1,2…99,100. Aplicând formula, rezultă (100+1)x100/2, unde 100+1 reprezintă suma dintre primul şi ultimul număr al seriei, iar 100 este numărul de componente al seriei.

Pentru mai multe metode ingenioase pentru a efectua rapid calcule aparent dificile, mental, vizitaţi canalul nostru YouTube ori pagina site-ului dedicată matematicii mentale.

Bibliografie: manual matematică clasa a V-a

Revizuire articol: scientia.ro